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\exo {\' Equation rationnelle}

Résoudre dans $\rset $ l'équation 
$$
   {x+1 \over x+4} = {1\over x}.
$$

\finexo

\corrige {}

On remarque tout d'abord que l'équation proposée n'a un sens que si
\dresultat {x\neq 0} et \dresultat {x\neq -4}. On se place donc sous
ces hypothèses dans tout le reste de l'exercice.

{\bf 1ère méthode~: le produit en croix}.

Il vient
$$\displaylines {
   {x+1 \over x+4} = {1\over x}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x (x+1) = x+4
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 + x - x - 4 = 0
\cr
      \Longleftrightarrow \quad
   x^2 - 4 = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   (x-2) (x+2) = 0
\cr
}$$
d'où les \tresultat {deux solutions dans $\rset $~: 2 et -2} (puisque
l'on a un produit de facteurs égale à $0$).

{\bf 2ème méthode~: Réduction au même dénominateur}.

Il vient
$$\displaylines {
   {x+1 \over x+4} = {1\over x}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {x+1 \over x+4} - {1\over x} = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {x^2 + x - x - 4 \over x (x+4)} = 0
\cr
      \Longleftrightarrow \quad
   {x^2 - 4\over x (x+4)} = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {(x-2) (x+2)\over x (x+4)} = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   (x-2) (x+2) = 0
\cr
}$$
d'où les \tresultat {deux solutions dans $\rset $~: 2 et -2}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 10 octobre 2002 (0.06s - 3823804 - 3 décembre 2008)