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\exo {\' Equation et inéquation rationnelle}

La fonction $g$ est définie pour tout réel $x$ différent de $1$ par~:
$$
   g (x) = {2x+1\over x-1}.
$$

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation~: $g (x) = 3$.

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation~: $g (x) = 2$.

\itemitemalphnum Montrer que résoudre l'inéquation~: $g (x) \geq 4$
revient à résoudre l'inéquation
$$
   {5-2x\over x-1} \geq 0.
$$

\itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'inéquation \quad
$
   g (x) \geq 4.
$

\finexo

\corrige 

\itemnum Il vient
$$
   g (x) = 3
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {2x+1\over x-1} = 3
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   2x+1 = 3x-3
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \dresultat {x = 4}.
$$

\itemnum L'inéquation est plus difficile puisque le produit en croix
      est interdit (possible seulement pour les équations, comme à la
      question précédente). Il ne reste que la solution de réduire au
      même dénominateur pour comparer à zéro. Il vient~:
$$
   g (x) \geq 4
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {2x+1\over x-1} - 4 \geq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {2x+1\over x-1} - {4 (x-1)\over x-1} \geq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {-2x+5\over x-1} \geq 0.
$$
Un tableau de signes permet alors de conclure~:
$$\vcenter {\offinterlineskip
   \eightpoint \rm
   \halign {
   % preamble
      #& \cc {$#$}& \tv #& $#$&
         \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} 
      & $#$
   \cr
      & x && -\infty && 1 && 5/2 &&+\infty
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & -2x+5&&& + &\tv & + & 0 & -
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & x-1 &&& - & 0& + & \tv & +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & \rm quotient &&& - & \doublevrule & + & 0 & -
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}$$
d'où~: $g (x) \geq 4$ si et seulement si \dresultat {x \in \, ]1;
5/2]}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 2 mai 2006 (0.07s - 3822344 - 2 décembre 2008)