Source de approx

$Fichier TeX$
\exo {Calculatrice et exactitude}

Soit $x$ un nombre réel. On pose
$$
   A = \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1}
      \qquad {\rm et} \qquad
   B = {2x \over \sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}}.
$$ 

\itemnum Avec une calculatrice, déterminer des valeurs approchées à
      $10^{-10}$ près de $A$ et $B$ pour~:
$$
   \alph \ x = 10^4
     \qquad \qquad
   \alph \ x = 10^{18}
     \qquad \qquad
   \alph \ x = -3
$$

\itemnum Démontrer par le calcul que $A=B$.

\itemnum Comment peut-on expliquer les résultats de la question {\bf
     1.}~?


\finexo

\corrige {}

\itemalphnum Pour $x = 10^4$, on trouve avec ma calculatrice \dresultat
{A \approx 0, 999\, 999\, 9} et \dresultat {B \approx 0, 999\, 999\,
996\, 3} 

\itemalph  Pour $x = 10^{18}$, on trouve, toujours avec ma
calculatrice \dresultat {A \approx 0} et \dresultat {B \approx 1}

\itemalph  Et enfin pour $x = -3$, on trouve avec la même calculatrice 
\dresultat {A \approx -0, 959\, 799\, 964} et \dresultat {B \approx
-0, 959\, 799\, 964}

\itemnum Cherchons à écrire $B$ sans radical au dénominateur. Il vient
$$\eqalign {
   B &= {2x \over \sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}}
\cr   
   &=  {2x (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1})\over (\sqrt {x^2
   + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}) (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 -
   x + 1})} 
\cr
   &= {2x (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1})\over (\sqrt {x^2
   + x + 1})^2 - (\sqrt {x^2 - x + 1})^2} 
\cr
   &= {2x (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1})\over x^2
   + x + 1 - x^2 + x - 1} 
\cr
   &= {2x (\sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1})\over 2x} 
   = \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1}
\cr
}$$
Soit \dresultat {A = B}.

\item {} {\bf Autre méthode~:} Il vient
$$\eqalign {
   A = B
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1} 
      = {2x \over \sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}}
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   \left( \sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}\right) 
   \left( \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1} \right)
      = 2x
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   \left( \sqrt {x^2 + x + 1}\right)^2 - \left(\sqrt {x^2 - x + 1}
   \right) ^2
      = 2x
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   \left(x^2 + x + 1\right) - \left(x^2 - x + 1 \right) 
      = 2x
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   x^2 + x + 1 - x^2 + x - 1  = 2x
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   2x  = 2x
\cr
}$$
La dernière égalité est toujours vraie, donc la première l'est aussi
et \dresultat {A = B}.

\itemnum Les étrangetés observées dans la question {\bf 1.}
proviennent des \tresultat {erreurs d'arrondis} dans la calculatrice.


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 septembre 2003 (0.05s - 3822402 - 2 décembre 2008)