\exo {\' Egalité de deux nombres} Démontrer que $$ {\sqrt 8 + 33\over 7-\sqrt 2} = \sqrt 2 + 5. $$ \finexo \corrige %% Essayons d'écrire la fraction du premier membre sans radical au %% dénominateur. Il vient~: Pour montrer l'égalité de 2~nombres, il suffit de montrer que leur différence est nulle. En remarquant que $\sqrt 8 = 2\sqrt 2$, il vient alors $$\eqalign { {\sqrt 8 + 33\over 7-\sqrt 2} = \sqrt 2 + 5 \quad &\Longleftrightarrow \quad {\sqrt 8 + 33\over 7-\sqrt 2} - (\sqrt 2 + 5) = 0 \cr &\Longleftrightarrow \quad {2\sqrt 2 + 33\over 7-\sqrt 2} - {(\sqrt 2 + 5)(7-\sqrt 2)\over 7-\sqrt 2} = 0 \cr &\Longleftrightarrow \quad {2\sqrt 2 + 33 - (7\sqrt 2 - 2 +35 -5\sqrt 2)\over 7-\sqrt 2} = 0 \cr &\Longleftrightarrow \quad {2\sqrt 2 + 33 - (2\sqrt 2 +33)\over 7-\sqrt 2} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 0 = 0 \cr }$$ La dernière égalité étant toujours vraie, la première l'est aussi, et on a bien \tresultat {la propriété demandée}. {\bf Autre méthode~:} on multiplie la fraction ${\sqrt 8 + 33\over 7-\sqrt 2}$ \og en haut et en bas \fg {} par $(7+\sqrt 2)$, et on vérifie que l'on obtient bien $5+\sqrt 2$ après calculs. \fincorrige