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$Fichier TeX$
\exo {Algèbre~: équations diverses}

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation \quad
$\displaystyle 
   {2-x\over 3x - 2} \geq 0
$.

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation \quad $|x+3| = 4$.


\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation \quad
$|x-2| < 5$.

\itemnum On sait que
$$
   \cos x = {4\over 5}
      \qquad {\rm avec} \qquad
   x \in \left[ -{\pi \over 2}; 0\right].
$$
Calculer la valeur exacte de $\sin x$.

\finexo

\corrige 

\itemnum Le tableau de signes s'impose. Il vient~:
$$\vcenter {\offinterlineskip
   \eightpoint \rm
   \halign {
   % preamble
      \tv #& \cc {$#$}& \tv #& $#$&
         \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} 
      & $#$
   \cr
      & x && -\infty && 2/3 && 2 &&+\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & 2 - x &&& + & \tv & + & 0 & -
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & 3x - 2 &&& - & 0 & + & \tv & + 
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & \rm quotient &&& - & \doublevrule & + & 0 & -
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}$$
d'où l'ensemble des solutions~: \dresultat {{\cal S} = \left] {2\over
3}; 2\right]}.

\itemnum L'équation $|x+3| = 4$ se lit \og \sl la distance de $x$ à
$-3$ est $4$\fg . Un simple dessin permet alors de conclure~: il y a
\tresultat {2~solutions~: $1$ et $-7$}.

\itemnum L'inéquation $|x-2| < 5$ se lit \og \sl la distance de $x$ à
$2$ est strictement inférieure à $5$\fg .
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/algebre/vrac/}
$$
  \epsillustrate {synt_001.ps}
$$
On lit immédiatement l'ensemble des solutions~: \dresultat {{\cal S} =
]-3 ; 7[.}

\itemnum En utilisant la relation $\cos ^2 x + \sin ^2 x = 1$, il
vient
$$
   \sin ^2 x + \left( {4\over 5}\right) ^2 = 1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \sin ^2 x = 1 - {16\over 25} = {9\over 25}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \sin x = {3\over 5} 
      \quad {\rm ou} \quad 
   \sin x = -{3\over 5}. 
$$
Or l'on sait que $x$ est dans l'intervalle $[-\pi /2; 0]$, donc son
sinus est négatif. On en déduit alors \dresultat {\sin x = -3/5}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3822621 - 2 décembre 2008)