\exo {Périmètre d'un rectangle variable} Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 8$ et $BC = 10$. Soit $M$ un point quelconque du segment $[AB]$. On note $AM = x$. La parallèle à $(AC)$ menée par $M$ coupe $(BC)$ en $N$ et la parallèle à $(AB)$ passant par $N$ coupe $(AC)$ en $P$. On appelle $p$ la fonction qui à $x$ associe le périmètre $p (x)$ du rectangle $AMNP$ \itemnum \` A quel intervalle appartient $x$~? \itemitemalphnum Calculer $p (x)$ en fonction de $x$. \itemitemalph Représenter graphiquement la fonction $p$. \itemitemalphnum Sur le graphique précédent, estimer la valeur de $x$ pour laquelle $p (x) = 15$. \itemitemalph Trouver par le calcul la valeur exacte de $x$. \finexo \corrige \def \epspath { $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} $$ \superboxepsillustrate {geom_003.ps} $$ \itemnum Le point $M$ étant sur le segment $[AB]$, on a \dresultat {x \in [0;8]}. \itemalphnum Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, on a facilement, par Pythagore, $AC^2= BC^2 - AB^2$, d'où l'on tire \tresultat {AC = 6}. \item {} D'autre part, par la trigonométrie dans le triangle rectangle $ABC$, il vient $$ \tan \alpha = {6\over 8} = {3\over 4} $$ Et la trigonométrie dans le triangle rectangle $MBN$ nous donne $$ \tan \alpha = {BN\over 8-x}. $$ On a alors facilement $$ {BN\over 8-x} = {3\over 4} \qquad {\rm soit} \qquad BN = {3\over 4} (8-x) = \dresultat {6 - {3\over 4} x = BN} $$ En appliquant maintenant Pythagore dans le triangle $MBN$, il vient $$ \left( 6 - {3\over 4} x\right)^2 = y^2 + (8 - x)^2 \quad \Longleftrightarrow \quad 100 - 25 x + {25\over 16}x^2 = y^2 \quad \Longleftrightarrow \quad \left( 10 - {5\over 4} x\right)^2 = y^2 $$ Comme $y$ est positif (c'est une distance) et que $10 - {5\over 4} x$ est positif (puisque $x\in [0; 8]$), on peut en conclure que $$ \dresultat {y = 10 - {5\over 4} x}. $$ Comme $p (x) = 2x + 2y$, il vient alors $$ p (x) = 2 x + 2\left( 10 - {5\over 4} x\right) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (x) = 20 - {5\over 2} x} $$ \itemalph $$ \superboxepsillustrate {geom_003a.ps} $$ \itemalphnum Graphiquement, on relève que $p (x) = 15$ pour \dresultat {x = 2}. \itemalph Ce qui est confirmé par le calcul~: $$ p (x) = 15 \quad \Longleftrightarrow \quad 20 - {5\over 2} x = 15 \quad \Longleftrightarrow \quad 5 = {5\over 2} x \quad \Longleftrightarrow \quad 5 \times {2\over 5} = \dresultat {2 = x } $$ \fincorrige