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\exo {Images de nombres par une fonction}
On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies par
$$
f (x) = {3x-1\over x-3}
\qquad {\rm et} \qquad
g (x) = -x^2 + 4x + 3.
$$
\itemnum Déterminer les images par $f$ des nombres $\smash
{\displaystyle {19\over 3}}$ et $3+\sqrt
5$. On donnera les résultats sous forme de fraction irrductible
ou sans radical au dénominateur.
\itemnum Calculer~:
$$
\alph \quad g (-1)
\qquad \qquad
\alph \quad g (2)
\qquad \qquad
\alph \quad g \big( 1 + \sqrt 5\big)
$$
en simplifiant au mieux les résultats obtenus.
\itemnum Le point de coordonnées $(\sqrt 3; 0)$ apprtient-il à la
courbe représentative de $g$~?
(Justifier votre réponse.)
\finexo
\corrige
\itemnum Il vient
$$
f \left( {19\over 3}\right)
= {3\times {19\over 3} - 1\over {19\over 3} - 3}
= {19- 1\over {19-9\over 3}}
= 18 \times {3\over 10} = {2\times 3^3\over 2\times 5}
\qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {f \left( {19\over 3}\right) = {3^3\over 5} = {27\over 5}}.
$$
et
%% $$
%% f (3+\sqrt 5)
%% = {3\times (3 +\sqrt 5) - 1\over (3+\sqrt 5) - 3}
%% = {9 +3\sqrt 5 - 1\over \sqrt 5}
%% = {8 +3\sqrt 5 \over \sqrt 5} \times {\sqrt 5\over \sqrt 5}
%% \quad {\rm soit} \quad
%% \dresultat {f (3+\sqrt 5) = {8\sqrt 5 + 15\over 5} = 3 + {8\over
%% 5}\sqrt 5}
%% $$
$$\displaylines {
f (3+\sqrt 5)
= {3\times (3 +\sqrt 5) - 1\over (3+\sqrt 5) - 3}
= {9 +3\sqrt 5 - 1\over \sqrt 5}
= {8 +3\sqrt 5 \over \sqrt 5} \times {\sqrt 5\over \sqrt 5}
\cr
\quad {\rm soit} \quad
\dresultat {f (3+\sqrt 5) = {8\sqrt 5 + 15\over 5} = 3 + {8\over
5}\sqrt 5}
\cr }$$
\itemnum On trouve facilement
$$
\dresultat {g (-1) = -8}
\qquad \qquad
\dresultat {g (2) = 1}
\qquad {\rm et} \qquad
\dresultat {g (1+\sqrt 5) = -5 + 2\sqrt 5}
$$
\itemnum On trouve $g (\sqrt 3) = -3 + 4\sqrt 3 -3 \neq 0$, donc le
point de coordonnées $(\sqrt 3; 0)$ \tresultat {n'appartient pas
à la courbe} représentative de la fonction $g$.
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 26 novembre 2003 (0.08s - 3822522 - 2 décembre 2008)
