Source de lect

$Fichier TeX$
\exo {Images et antécédents, lecture de graphique}

\let \partie \centerpartie

On vous a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une
fonction $f$.
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/}
$$
   \superboxepsillustrate {lect_009.ps} 
$$

\partie {A : Lecture graphique}

\itemnum Lire sur le graphique l'ensemble de définition de $f$.

\itemnum Déterminer graphiquement les solutions de l'inéquation $f (x)>0$.

\itemnum Déterminer graphiquement l'image de $2$ par $f$.

\itemnum Déterminer graphiquement les antécédents de $-3$ par $f$.

\partie {B : Par le calcul}

On admet maintenant que la fonction $f$ est définie par~: \qquad $f (x) = (x -
1)^2 - 4$.

\itemitemalphnum Montrer que l'expression factorisée de $f (x)$ est 
$$
   f (x) = (x+1) (x-3) 
$$

\itemitemalph Déterminer l'expression développée de $f (x)$.

\itemnum Déterminer les images par $f$ des nombres suivant~:
$$
   \alph \quad -{1\over 4}
      \qquad \qquad
   \alph \quad \sqrt 2
      \qquad \qquad
   \alph \quad 1 + \sqrt 3
$$

\itemnum Résoudre l'équation $f (x) = 0$.

%%\itemnum Déterminer les antécédents éventuels de $-3$ par $f$.

\finexo

\corrige 

\let \partie \llappartie

\partie {A}
\vskip -5mm
\itemnum On voit sur le graphique que la courbe de $f$ n'existe que
pour les réels $x$ entre $-3$ et $5$. D'où l'ensemble de définition de
$f$~: \dresultat {{\cal D} = [-3; 5]}.

\itemnum Graphiquement, on lit que $f (x)$ est strictement positive si
et seulement si \dresultat {x \in [-3; -1[ \, \cup \, ]3; 5]}.

\itemnum On lit sur le graphique~: \dresultat {f (2) \approx -3}.

\itemnum Toujours graphiquement, on trouve \tresultat {2~antécédents
pour $-3$~: $0$ et 2}.

\partie {B}
\vskip -5mm
\itemitemalphnum On reconnaît une identité remarquable dans l'écriture
proposée pour $f (x)$. Il vient alors
$$\eqalign {
   f (x) &= (x-1)^2 - 4 = (x-1)^2 - 2^2
\cr
      &= (x-1-2) (x-1+2)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f (x) = (x-3)(x+1)}.
\cr
}$$

\itemalph Quant à l'écriture développée, on obtient facilement
\dresultat {f (x) = x^2 - 2x -3}.

\itemnum Pour les images demandées, et en utilisant l'écriture $f (x)
= (x-1)^2 -4$, il vient
$$\displaylines {
   \bullet \quad
   f \left( - {1\over 4}\right) = \left( - {5\over 4}\right) ^2 - 4
      = {25\over 16} - {4\times 16\over 16}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f \left( - {1\over 4}\right) = -{39\over 16}}
\cr
   \bullet \quad
   f (\sqrt 2) = (\sqrt 2 -1)^2 - 4 
      = 2 + 1 - 2\sqrt 2 - 4
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f (\sqrt 2) = -1 - 2\sqrt 2}
\cr
   \bullet \quad
   f (1+ \sqrt 3) = (\sqrt 3)^2 - 4 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f (1+\sqrt 3) = -1}
\cr 
}$$

\itemnum En prenant l'écriture factorisée pour $f$, l'équation
proposée se résoud immédiatement puisque l'on a un produit de facteurs
égal à 0. D'où
$$
   f (x) = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   (x-3) (x+1) = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \dresultat {x \in \{ 3; -1\}}.
$$

%% \itemnum Il s'agit de résoudre l'équation $f (x) = -3$. En utilisant
%% 	 l'expression développée de $f (x)$, il vient
%% $$
%%    x^2 -2x - 3 = -3 
%% 	 \quad \Longleftrightarrow \quad
%%    x^2 - 2 x = 0
%% 	 \quad \Longleftrightarrow \quad
%%    x (x - 2) = 0
%% $$
%% Comme on a un produit de facteurs égal à $0$, on obtient immédiatement
%% les deux solutions. D'où l'ensemble des solutions~: \dresultat {{\cal
%% S} = \{0; 2\}}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3822400 - 2 décembre 2008)