%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex + illustr.tex %% sujet lecture graphique, equation, inequation %% date 12-11-97 %% auteur jp vignault \exo {intersection et positions re\-la\-ti\-ves de deux courbes} \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} \epsfxsize = 115mm \itemnum On vous donne ci-dessous la représentation gra\-phi\-que d'une fonction. On admet qu'une équation de cette cour\-be est $$ y = {ax^2 + bx + c \over x^2 + 1} $$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels à déterminer. %% $$ %% \superboxepsillustrate {pbm_001a.ps} %% $$ \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/analyse/fonction/} $$ \superboxepsillustrate {fct_017a.ps} $$ \itemitemalph Déterminer, à l'aide du graphique, les valeurs de $f (0)$, $f (1)$ et $f (2)$. \itemitemalph Déterminer, en vous servant de la question pré\-cé\-den\-te, les valeurs des constantes $a$, $b$ et $c$. \itemnum On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $$ f (x) = {3x^2 + 8x - 3 \over x^2 + 1}. $$ \itemitemalph Y a-t-il des valeurs de $x$ pour lesquelles $f (x)$ n'existe pas~? (Justifier.) \itemitemalph Déterminer, par le calcul, l'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère. \itemnum On admet que la courbe $C_f$ est celle représentée ci-dessus, et on considère la droite $D$ d'équation $y = 3$. \itemitemalph Représenter la droite $D$ sur la figure précédente. \itemitemalph \'Etudier le signe de $f (x) - 3$. En déduire les positions relatives de la courbe $C_f$ par rapport à la droite $D$. \itemnum On considère la droite $\Delta$ d'équation $y = 4$. \itemitemalph Représenter la droite $\Delta$ sur la figure précédente. \itemitemalph Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec $\Delta$. \itemitemalph \smash{\'E}tudier les positions relatives de la courbe $C_f$ par rapport à $\Delta$ \finexo \corrige{} \itemalphnum On lit sur le graphique \dresultat{f (0) = -3}, \dresultat{f (1) = 4}, et \dresultat{f (2) = 5}. \itemalph On en déduit le système de trois équations à trois inconnues suivant~: $$ \cases{ c = -3 \cr {1\over2} (a + b + c) = 4 \cr {1\over5} (4a + 2 b + c) = 5 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ c = -3 \cr a + b = 11 \cr 4a + 2 b = 28 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ c = -3 \cr a + b = 11 \cr 2a + b = 14 \cr} $$ En soustrayant l'équation~2 à l'équation~3, on obtient alors $a= 3$, ce qui permet ensuite d'obtenir $b$. Finalement, on a $$ \mresultat{(a, b, c) = (3, 8, -3)}, \qquad \hbox{ce qui donne} \qquad \dresultat{f (x) = {3x^2 + 8x -3 \over x^2 + 1}}. $$ \itemalphnum Le nombre $f (x)$ est calculable si et seulement si $x^2 + 1 \neq 0$. Or $x$ étant un nombre réel, $x^2$ est toujours positif ou nul, et donc $x^2 + 1$ est toujours strictement positif. En résumé, $x^2 + 1$ est toujours différent de 0, donc \tresultat{$f (x)$ existe pour tout $x\in\rset$}. \itemalph $\bullet$ {\sl Intersection de la courbe $C_f$ avec l'axe $Oy$} \item{} Déterminer cette intersection revient à résoudre le système $$ \cases{ y = f (x) \cr x = 0 \cr} \qquad \Longrightarrow \qquad \cases{ y = -3 \cr x = 0 \cr} \qquad \tresultat{d'où l'unique point d'intersection $A (0, -3)$} $$ \item{} $\bullet$ {\sl Intersection de la courbe $C_f$ avec l'axe $Ox$} \item{} Déterminer cette intersection revient à résoudre le système $$ \cases{ y = f (x) \cr y = 0 \cr} \qquad \Longrightarrow \qquad \cases{ 0 = 3x^2 + 8x - 3 \cr y = 0 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ x = 1/3 & ou $x = -3$ \cr y = 0 \cr} $$ Où l'on a utilisé le discriminant $\Delta = 100$ pour résoudre l'équation du second degré en $x$. Finalement, on a donc deux points d'intersection~: \dresultat{B (-3, 0)} et \dresultat{C (1/3, 0)}. \everymath = {\displaystyle } \itemnum On a $f (x) - 3 = {3x^2 + 8x - 3 \over x^2 + 1} - {3(x^2 + 1) \over x^2 + 1} = {8x-6 \over x^2 + 1}$. Or cette expression est du signe de $8x - 6$ puisque $x^2 + 1$ est toujours positif (d'après la question {\bf 2.}{\sl a\/}). Finalement, comme $8x -6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3/4$, on a le tableau récapitulatif suivant~: $$\vcenter{\offinterlineskip \halign{ % preamble #\tv & \cc{$#$}& #\tv &&\cc{$#$} \cr \noalign{\hrule} & x&& -\infty& & 3/4& & +\infty \cr \noalign{\hrule} & f (x) - 3&& & -& 0& +& \cr \noalign{\hrule} & && & \matrix{C_f {\rm \ en\ dessous}\cr {\rm de\ la\ droite\ } D}& \tv & \matrix{C_f {\rm \ en\ dessus}\cr {\rm de\ la\ droite\ }D}& \cr \noalign{\hrule} }}$$ \itemnum Ce travail est similaire au précédent. Pour l'intersection, on cherche à résoudre le système $$ \cases{ y = f (x) \cr y = 4 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ 4 (x^2 + 1) = 3x^2 + 8x - 3 \cr y = 4 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ 0 = -x^2 + 8x - 7 \cr y = 4 \cr} $$ On utilise alors le discriminant $\Delta = 36$ pour résoudre l'équation du second degré en $x$, ce qui nous donne les deux solutions réelles $x_1 = {-8 - 6 \over -2} = 7$ et $x_2 = {-8 + 6 \over -2} = 1$. Finalement, on a donc deux points d'intersection~: \dresultat{E (1, 4)} et \dresultat{F (7, 4)}. \item{} Pour les positions relatives, on étudie le signe de l'expression $f (x) - 4 = {3x^2 + 8x - 3 - 4 (x^2 + 1) \over x^2 + 1} = {-x^2 + 8x - 7 \over x^2 + 1}$ qui est du signe de $-x^2 + 8x - 7$ puisque $x^2 + 1$ est toujours positif. Comme l'on sait que ce dernier polynôme admet les deux racines $1$ et $7$, et qu'il est positif entre ces racines (signe de $-a$ entre les racines d'après le cours), on en déduit immédiatement le tableau récapitulatif suivant~: $$\vcenter{\offinterlineskip \halign{ % preamble #\tv & \cc{$#$}& #\tv && $#$& \cc{$#$} \cr \noalign{\hrule} & x&& -\infty& & 1& & 7& &+\infty \cr \noalign{\hrule} & f (x) - 4&& & -& 0& + & 0& -& \cr \noalign{\hrule} & && & \matrix{C_f {\rm \ en\ dessous}\cr {\rm de\ la\ droite\ }\Delta}& \tv& \matrix{C_f {\rm \ en\ dessus}\cr {\rm de\ la\ droite\ }\Delta}& \tv& \matrix{C_f {\rm \ en\ dessous}\cr {\rm de\ la\ droite\ }\Delta}& \cr \noalign{\hrule} }}$$ \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/} \epsfxsize = 100mm $$ \superboxepsillustrate {pbm_001a.ps} $$ \fincorrige