Source de periode_003.tex
\exo {Parité, périodicité\dots }
On considère la fonction $f~: x \mapsto \cos ^2 x$, définie sur $\rset
$.
\itemnum \' Etudier la parité de $f$.
\itemnum Montrer que $f$ est périodique de période $\pi $.
\finexo
\corrige
\itemnum Il vient
$$
f (-x) = \cos ^2 (-x) = \cos ^2 x
\qquad \hbox {puisque la fonction $\cos $ est paire}
$$
On a donc $f (-x) = f (x)$, ce qui prouve que \tresultat {la fonction
$f$ est paire}.
\itemnum On remarque tout d'abord que l'on a $\cos (x+\pi ) = -\cos x$
pour tout $x$ réel. Il vient alors
$$
f (x+\pi ) = \cos ^2 (x+\pi )
= \left( - \cos x\right) ^2
= \cos ^2 x = f (x),
$$
ce qui prouve que \tresultat {la fonction $f$ est périodique de
période $\pi $}.
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 7 avril 2004 (0.08s - 3822397 - 2 décembre 2008)
