\exo {Parité, périodicité\dots } On considère la fonction $f~: x \mapsto \cos ^2 x$, définie sur $\rset $. \itemnum \' Etudier la parité de $f$. \itemnum Montrer que $f$ est périodique de période $\pi $. \finexo \corrige \itemnum Il vient $$ f (-x) = \cos ^2 (-x) = \cos ^2 x \qquad \hbox {puisque la fonction $\cos $ est paire} $$ On a donc $f (-x) = f (x)$, ce qui prouve que \tresultat {la fonction $f$ est paire}. \itemnum On remarque tout d'abord que l'on a $\cos (x+\pi ) = -\cos x$ pour tout $x$ réel. Il vient alors $$ f (x+\pi ) = \cos ^2 (x+\pi ) = \left( - \cos x\right) ^2 = \cos ^2 x = f (x), $$ ce qui prouve que \tresultat {la fonction $f$ est périodique de période $\pi $}. \fincorrige