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$Fichier TeX$
\exo {Cercle trigonométrique, équations}

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on a représenté
ci-dessous le cercle trigonométrique.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/trigo/}
$$
   \superboxepsillustrate {synt_001.ps}
$$

\itemitemalphnum Placer sur le graphique ci-dessus les points correspondant
aux nombres
$$
   0, 
      \qquad
   {\pi \over 2},
      \qquad
   {\pi \over 4},
      \qquad
   {\pi \over 3},
      \qquad
   {3\pi \over 4},
      \qquad
   {9\pi \over 4},
      \qquad
   {2\pi \over 3},
      \qquad
   -{5\pi \over 2},
$$

\itemitemalph En déduire les valeurs exactes de
$$
   \cos \left( {2\pi \over 3}\right)
      \qquad {\rm et} \qquad
   \sin \left( {2\pi \over 3}\right)
$$

\itemitemalphnum \` A l'aide du cercle ci-dessus, résoudre dans l'intervalle
$[-\pi ; \pi ]$ l'équation
$$
   \cos x = {1\over 2}.
\leqno
   (E)
$$

\itemitemalph Toujours à l'aide du graphique, résoudre l'équation $(E)$
sur l'intervalle $[0; 2\pi ]$.

\itemnum \` A l'aide du cercle ci-dessus, résoudre dans l'intervalle
$[-\pi ;\pi ]$ l'équation 
$$
   \sin x = {1\over 2}.
\leqno
   (E')
$$

\itemnum Soit $x$ un nombre de l'intervalle $[0;\pi ]$ dont le cosinus
vaut $-4/5$. Déterminer $\sin x$.

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/trigo/}
$$
   \superboxepsillustrate {synt_001b.ps}
$$

\itemalph Vu les symétries du cercle, et connaissant les cosinus et
sinus de $\pi /3$, on en déduit aisément
$$
   \dresultat {\cos \left( {2\pi \over 3}\right) = -{1\over 2}}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {\sin \left( {2\pi \over 3}\right) = {\sqrt 3\over 2}}.
$$

\itemalphnum \alph \
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/trigo/}
$$
   \epsfxsize = .4\hsize
   \superboxepsillustrate {synt_001c.ps}
      \qquad \qquad
   \epsfxsize = .4\hsize
   \superboxepsillustrate {synt_001d.ps}
$$
On lit sur le cercle trigonométrique les solutions de nos deux
équations. On trouve ainsi 
$$
   \tresultat {2~solutions sur $[-\pi ;\pi ])$~: $\pi /3$ et $-\pi /3$}, 
      \qquad {\rm et} \qquad 
   \tresultat {2~solutions sur $[0; 2\pi ]$~: $\pi /3$ et $5\pi /3$}.
$$

\itemnum De la même façon, on trouve les 2~solutions sur $[-\pi ; \pi
      ]$ de l'équation $\sin x = 1/2$~: \tresultat {$\pi /6$ et $5\pi /6$} .
$$
   \epsfxsize = .4\hsize
   \superboxepsillustrate {synt_001e.ps}
$$

\itemnum On connaît le cosinus du nombre $x$ et on cherche son
   sinus. Sachant que l'on a toujours $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$, il
   vient facilement
$$
   \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x = 1 - \left( - {4\over 5} \right) ^2 = 1
   - {16\over 25}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \sin ^2 x = {9\over 25}.
$$
\` A ce stade, on a donc 2~possibilités~: soit 
$\displaystyle {
   \sin x = \sqrt {9\over 25} = {3\over 5}
}$, soit
$\displaystyle {
   \sin x = - \sqrt {9\over 25} = -{3\over 5}
}$.
Mais comme l'on sait que $x\in [0; \pi ]$, on en déduit que son sinus
   est positif. La seule solution possible est donc \dresultat {\sin x
   = {3\over 5}}.


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3822585 - 2 décembre 2008)