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\exo {Un petit problème en géométrie analytique}

Dans un repère orthonormé $(O, \vec \imath , \vec \jmath \,)$ d'unité 1~cm, on
donne les points~: $A (3;3)$, $B (-3;6)$ et $C (-3;-9)$.

\itemnum Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle. Calculer son aire.

\itemnum Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un
parallélogramme. 

\itemnum Soit $E (-1;5)$. Démontrer que les points $A$, $B$ et $E$
sont alignés.

\itemitemalphnum Construire sur le dessin ci-dessous la droite $\Delta
$ passant par le point $F (0;1)$ et ayant $-1/2$ comme coefficient
directeur. Déterminer l'équation réduite de $\Delta $.

\itemitemalph Déterminer une équation de la droite $(AC)$.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/analytique/}

$$
   \superboxepsillustrate {synt_003a.ps}
$$

\itemnum On considère les droites $d_1$ et $d_2$ d'équations
respectives
$$
   d_1~: x+3+2y = 0
      \qquad {\rm et} \qquad
   d_2~: y = x+3.
$$

\itemitemalph Représenter ces deux droites dans le repère ci-dessus.

\itemitemalph Montrer que le point $G (-3; 0)$ appartient à $d_1$ et à
      $d_2$.

\itemnum Déterminer les coordonnées du point $M$ défini par
$$
   \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MF} = \overrightarrow {FE}
$$
Représenter le point $M$.

\itemitemalphnum Déterminer les coordonnées du point de $d_1$
d'abscisse~$1$.

\itemitemalph Déterminer les coordonnées du point de $d_2$ d'ordonnée~$2$.

\finexo

\corrige {}

\itemnum On a 
$$
   \overrightarrow {AB} = {-3 - 3\choose 6-3} = {-6\choose 3}
      \qquad \qquad
   \overrightarrow {BC} = {0\choose -15}
      \qquad \qquad
   \overrightarrow {AC} = {-6\choose -12}
$$
d'où les distances
$$
   AB = \sqrt {(-6)^2 + 3^2} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5
      \qquad \qquad
   BC = 15
      \qquad \qquad
   AC = \sqrt {(-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt {180} = 6\sqrt 5
$$
Il est alors facile de vérifier Pythagore~: $BC^2 = AB^2 + AC^2$, ce
qui prouve que \tresultat {$ABC$ rectangle en $A$}. Son aire est alors
${\cal A} = {1\over 2}\times 3\sqrt 5 \times 6\sqrt 5$, soit
\dresultat {{\cal A} = 45\cm ^2 }.

\item {} 
Une autre méthode, plus rapide, consiste à déterminer les coefficients
directeurs des droites $(AB)$ et $(AC)$ à partir des vecteurs
$\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$, pour vérifier
ensuite que le produit de ces coefficients fait bien $-1$, prouvant
ainsi l'orthogonalité des droites considérées.

\itemnum Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement
si $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$. En posant $D$ de
coordonnées inconnues $(x_D, y_D)$, la relation précédente nous donne
le système~:
$$
   {x_d - 3\choose y_D - 3} = {0\choose -15}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      x_D = 3
   \cr
      y_D = -15+3 = -12
   \cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {D (3; -12)}
$$

\itemnum Les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés si et seulement si
      les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AA}$
      sont colinéaires. Or
$$
   \overrightarrow {AB} = {-6\choose 3}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overrightarrow {AE} = {4\choose -2}
$$
La relation de colinéarité donne alors $-6\times (-2) - 3\times 4 =
0$, ce qui prouve que ces vecteurs sont colinéaires, et donc que
\tresultat {les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés}.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/analytique/}
\itemalphnum
$$
   \superboxepsillustrate {synt_003b.ps}
$$
Nous connaissons le coeeficient directeur de la droite $\Delta $, ce
qui nous permet d'affirmer que son équation réduite est de la forme
$$
   \Delta ~: y = - {1\over 2} x + b
$$
où $b$ est une constante réelle à déterminer. Sachant que le point $F$
appartient à $\Delta $, on en déduit que les coordonnées de $F$
vérifient cette équation et que l'on a la relation
$$
   1 = - {1\over 2} \times 0 + b
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   b = 1.
$$
L'équation réduite de $\Delta $ est donc finalement \dresultat
{\Delta ~: y = -{1\over 2} x + 1}.

\itemalph Procédons de la même manière que précédemment. Sachant que
$$
   \overrightarrow {AC} = {-6\choose -12}
$$
on en déduit que le coefficient directeur de $(AC)$ est $-12/-6 =
2$. Reste à utiliser le fait que les coordonnées de $A$vérifient
l'équation de la droite $(AC)$ pour trouver l'ordonnée à
l'origine. Tous calculs faits, on trouve l'équation réduite \dresultat
{(AC)~: y = 2x - 3}.

\itemalphnum L'équation réduite de la droite $d_1$ est 
$$
   d_1~: y = -{1\over 2} x - {3\over 2}.
$$
Les points $(1; -2)$ et $(-1; 1)$, par exemple, sont sur cette droite.

\itemalph On vérifie facilement que les coordonnées de $G$ vérifient
les équations des droites $d_1$ et $d_2$. Ainsi, on a bien
$$
   -3 + 3 + 2\times 0 = 0
      \qquad {\rm et} \qquad
   0 = -3 + 3.
$$
Ce qui prouve que \tresultat {le point $G$ appartient à $d_1$ et à
$d_2$}.

\itemnum Soit $M (x, y)$ le point inconnu. On a
$$\eqalign {
   & \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MF} = \overrightarrow {FE}
\cr
      \Longleftrightarrow \quad
   & {3-x \choose 3-y} + {0-x\choose 1-y} = {-1-0\choose 5-1}
\cr 
      \Longleftrightarrow \quad
   & {3-2x \choose 4-2y} = {-1\choose 4}
\cr 
      \Longleftrightarrow \quad
   & \cases {
      3-2x = -1
   \cr
      4-2y = 4
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   (x, y)  = (2, 0)
\cr 
}   
$$
d'où les coordonnées cherchées \dresultat {M (2, 0)}.

\itemalphnum Connaissant l'équation de la droite $d_1$, il suffit de
trouver $y$ lorque $x=1$. D'où le point cherché~: \dresultat {(1, -2)}

\itemalph Même raisonnement avec $d_2$~: que vaut $x$ si $y=2$. On
trouve \dresultat {(-1; 2)}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3822461 - 2 décembre 2008)