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\exo {Droites~: un exercice de synthèse}

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/droites/}

\itemitemalphnum Lire sur le graphique ci-dessous une équation de chacune des
droites $d_1$ et $d_2$.

\itemitemalph Montrer que les droites $d_1$ et $d_2$ sont perpendiculaires.

$$
   \epsillustrate {synt_001.ps}
$$

\itemnum On considère les droites $d_3$ et $d_4$ d'équations respectives 
$$
   d_3~: \quad y = 5 -2x
      \qquad \qquad
   d_4~: \quad 2y -2x + 2 = 0
$$

\itemitemalph Vérifier que le point $A (-1; -2)$ appartient à la droite $d_4$.

\itemitemalph Montrer que $d_1$ et $d_4$ sont parallèles.

\itemitemalph Représenter les droites $d_3$ et $d_4$ sur le graphique ci-dessus.

\itemnum Déterminer les coordonnées de $B$, le point d'intersection
      des droites $d_3$ et $d_4$.

\itemnum Déterminer une équation de $d_5$, la perpendiculaire à $d_4$
passant par $B$.

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum Sur le graphique on lit facilement les deux ordonnées à
l'origine~: $4$ pour $d_1$ et $-4$ pour $d_2$. Quand aux coefficients
directeurs, il est facile de voir que les vecteurs
$$
   \pmatrix {1\cr 1\cr }
      \qquad {\rm et} \qquad
   \pmatrix {1\cr -1\cr }
$$
sont respectivement des vecteurs directeurs des droites $d_1$ et
$d_2$. D'où les coefficients directeurs cherchés~: $1$ pour $d_1$ et
$-1$ pour $d_2$.
Finalement, les 2~équations cherchées sont~:
$$
   \dresultat {d_1~: y = x+4}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {d_2~: y = -x-4}
$$

\itemalph On en déduit sans peine que \tresultat {les droites $d_1$ et $d_2$
      sont perpendiculaires} puisque le produit de leurs coefficients
      directeurs est égal à $-1$.

\itemalphnum Une équation de $d_4$ est $2y-2x+2=0$, et on a bien
      $2\times (-2) - 2\times (-1) + 2 = 0$. Donc les coordonnées du
      point $A$ vérifient l'équation de la droite $d_4$, ce qui prouve
      que \tresultat {$A$ appartient à $d_4$}.

\itemalph L'équation réduite de $d_1$ obtenue dans le {\bf 1.} nous
      donne immédiatement son coefficient directeur~: $-2$. Pour la
      droite $d_4$, on a 
$$
   2y - 2x + 2 = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   2y  = 2x - 2
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \dresultat {d_4~: y  = x - 1}
$$
d'où le coefficient directeur de $d_4$~: $1$. Ces deux droites ont le
même coefficient directeur, ce qui prouve que \dresultat {d_1 /\!/ d_4}

\itemalph 
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/droites/}
$$
   \epsillustrate {synt_001b.ps}
$$


\itemnum Chercher l'intersection des droites $d_3$ et $d_4$ revient à
résoudre le système
$$
   \cases {
      y = 5-2x
   \cr
      2y-2x+2=0
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \matrix {
      \scriptstyle (1)
   \cr
      \scriptstyle (2)
   \cr }
   \cases {
      y + 2x = 5
   \cr
      2y - 2x = -2
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \matrix {
      \scriptstyle (1)
   \cr
      \scriptstyle (1) + (2)
   \cr }
   \cases {
      y + 2x = 5
   \cr
      3y = 3
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      x = 2
   \cr
      y = 1
   \cr }
$$
d'où \tresultat {l'unique point d'intersection~: $B (2, 1)$}.

\itemnum Le coefficient directeur de $d_4$ étant $1$ d'après le {\bf
2.}{\sl b\/}), celui d'une perpendiculaire à $d_4$ sera de $-1$
  (produit des coeffs égal à $-1$). Donc $d_5$ admet une équation du
  type $y = -x + p$. Or le point $B$ appartient à $d_5$, et donc ses
  coordonnées vérifient l'équation de $d_5$. D'où la relation $1 =
  -2+p$ d'où l'on tire $p = 3$. Finalement, l'équation cherchée est
  \dresultat {d_5~: y = -x+3}.

\fincorrige

 

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