Source de rect

$Fichier TeX$
\exo {Des triangles rectangles\dots }

On considère le triangle équilatéral $ABC$ de côté $5\cm $. On note
$H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$, $M$ le point de $[AC]$
tel que $AM = 3\cm $, et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur $[AH]$.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/}
$$
   \superboxepsillustrate {rect_003.ps}
$$


Calculer $AP$. ({\sl Indication~:} on pourra auparavant calculer $AH$.)

\finexo

\corrige {}

\item {$\bullet $} Dans un triangle équilatéral, hauteur et
médiatrice sont confondues, donc \tresultat {$H$ est le milieu de
$[BC]$}, et \dresultat {BH = {5\over 2}}.

\item {$\bullet $} On applique maintenant Pythagore dans le triangle
rectangle $ABH$. Il vient
$$\eqalign {
   AB^2 = AH^2 + BH^2
      \quad &\Longrightarrow \quad
   5^2 = AH^2 + \left( {5\over 2}\right) ^2
      \quad \Longrightarrow \quad
  AH^2  = {100 - 25\over 4} = {75\over 4}
 \cr
      \quad &\Longrightarrow \quad
   AH = {\sqrt {3\times 5^2} \over 2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {AH = {5\sqrt 3 \over 2}}
}$$

\item {$\bullet $} Ne reste plus qu'à appliquer Thalès dans le
triangle $ACH$ avec le segment $[MP]$ (c'est possible puisque les
droites $(MP)$ et $(HC)$ sont parallèles, car toutes~$2$
perpendiculaires à la même droite $(AH)$).

\item {} Il vient alors
$$
   {AM\over AC} = {AP\over AH}
      \quad \Longrightarrow \quad
   {3\over 5} = {AP\over AH}
      \quad \Longrightarrow \quad
   AH \times {3\over 5} = AP
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {AP = {3\sqrt 3 \over 2}}.
$$


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3822386 - 2 décembre 2008)