rect_004.tex

\exo {Des triangles rectangles\dots }
 
Deux triangles $BAH$ et $HAC$ rectangles en $H$ sont disposés comme
l'indique la figure ci-dessous~: 
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/}
$$
\displaylines {
   \widehat {BAH} = 45°,
      \qquad \qquad
   \widehat {HAC} = 30°,
      \qquad {\rm et} \qquad
   AH = 3\cm .
\cr
   \superboxepsillustrate {rect_004.ps}
\cr
}$$
 
Démontrer que $BC = 3+\sqrt 3$, l'unité étant le cm.
 
\finexo
 
\corrige {}
 
%% \def \epspath {%
%%    $HOME/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/}
%% $$
%%    \superboxepsillustrate {rect_004.ps}
%% $$
Dans le triangle $AHC$, rectangle en $H$, on a 
$$\eqalign {
   \tan 30° = {HC\over AH}
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   HC &= AH\times \tan 30° = AH\times {\sin 30°\over \cos 30°}
\cr
   &= 3 \times {1/2 \over \sqrt 3/2}
      = 3 \times {1\over 2} \times {2\over \sqrt 3}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {HC = \sqrt 3}
\cr
}$$
 
Dans le triangle $AHB$, rectangle en $H$, on a 
$$\eqalign {
   \tan 45° = {BH\over AH}
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   BH &= AH\times \tan 45° = AH\times {\sin 45°\over \cos 45°}
\cr
   &= 3 \times {\sqrt 2/2 \over \sqrt 2/2}
      = 3 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {HB = 3}
\cr
}$$
 
On a donc bien \dresultat {BC = 3 + \sqrt 3}.
 
\fincorrige