Source de sembl_003.tex
\exo {Cercle et triangles semblables}
Soit $\cal C$ un cercle de centre $O$ et de rayon $r$. On considère
$ABC$, un triangle inscrit dans le cercle $\cal C$ et tel que l'angle
$\widehat {BAC}$ soit aigu. On nomme $H$ le projeté orthogonal de $A$
sur $[BC]$, et $D$ le point où la droite $(AO)$ recoupe $\cal C$.
On note $D$ un point de l'arc $\widehat {BC}$ ne contenant pas $A$, et
$E$ le point d'intersection de la droite $(AD)$ et du segment $[BC]$.
\def \epspath {%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/}
$$
\superboxepsillustrate {sembl_003.ps}
$$
\itemnum Démontrer que les triangles $DBE$ et $CAE$ sont semblables.
\itemnum On pose $AB = c$, $AC = b$, et $AH = h$.
\item {} Déduire de la question précédente que $bc = 2rh$.
\finexo
\corrige
\itemnum Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont sur le même cercles, et
les angles $\widehat {BDA}$ et $\widehat {BCA}$ interceptent le même
arc de cercle $AB$. Donc $\widehat {BDA} = \widehat {BCA}$, soit
\dresultat {\widehat {D} = \widehat {C}}.
De plus, les angles $\widehat {BED}$ et $\widehat {AEC}$ sont
opposés par les sommet, dont \dresultat {\widehat {BED} = \widehat
{AEC}}.
\item {} Finalement, les triangles $DBE$ et $CAE$ ont deux angles deux
à deux égaux, ce qui prouve qu'\tresultat {ils sont semblables}.
\def \epspath {%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/}
$$
\superboxepsillustrate {sembl_003a.ps}
$$
\itemnum On remarque que $[AD]$ est un diamètre du cercle $\cal C$ et
$B$ est un point de ce cercle, donc $ABD$ est un triangle rectangle en
$B$, d'où \dresultat {\widehat {ABD} = 90° = \widehat {AHC}}. Les deux
triangles \tresultat {$ABD$ et $AHC$} sont donc semblables puisqu'ils
ont deux angles égaux deux à deux
\item {} Maintenant, dans les triangles semblables $ABD$ et $AHC$, on a
$$
{AB\over AH} = {c\over h} = {AD\over AC} = {2r\over b}
\qquad \hbox {et donc} \qquad
\dresultat {bc = 2rh}.
$$
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3822377 - 2 décembre 2008)
