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Fichier TeX
Image JPEG
\exo {Tangentes à un cercle, triangles semblables}

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/}

Sur la figure ci-dessous, $E$ est un point du demi-cercle $\cal C$ de
diamètre $[AB]$ er de rayon $R$.

La tangente en $E$ à $\cal C$ coupe la tangente en $A$ à $\cal C$ en
$I$ et la tangente en $B$ à $\cal C$ en $J$.
$$
   \superboxepsillustrate {sembl_010.ps}
$$

\itemitemalphnum Montrer que les triangles $OAI$ et $OEI$ sont
isométriques.

\itemitem {} Citer sans justifier deux autres triangles isométriques.

\itemitemalph En déduire que le triangle $IOJ$ est rectangle.

\itemitemalphnum Montrer que les triangles $OEI$ et $OEJ$ sont semblables.

\itemitemalph En déduire que
$$
   IE \times EJ = R^2,
      \qquad \hbox {puis que} \qquad
   AI \times BJ = R^2.
$$

\finexo

\corrige

\itemalphnum Les triangles $OAI$ et $OEI$ ont le \tresultat {côté $OI$
      en commun}. De plus \dresultat {OA = OE} puisque ce sont
      2~rayons du demi-cercle. Pour finir, on remarque que $OAI$ et
      $OEI$ sont par hypothèse des triangles rectangles, et le
      théorème de Pythagore permet facilement de conclure à l'égalité
      \dresultat {AI = IE} puisque l'on a l'égalité des hypothénuses
      et de l'un des côtés. Plus précisément,
$$
   AI = \sqrt {OI^2 - OA^2} = \sqrt {OI^2 - OE^2} = IE
$$

\item {} Finalement, les triangles \tresultat {$OAI$ et $OEI$ sont
isométriques} puisqu'ils ont trois côtés égaux 2~à~2.

\item {} Une démonstration tout à fait analogue prouverait que les
triangles \tresultat {$OEI$ et $OBI$ sont isométriques}.

\epsfxsize 60mm
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/triangle/}
$$
   \superboxepsillustrate {sembl_010a.ps}
$$

\itemalph Les triangles $OAI$ et $OEI$ étant isométriques, ils sont en
particulier semblables et ils ont les mêmes angles. En particulier, on
a \dresultat {\widehat {AOI} = \widehat {IOE}}. On notera $x = \widehat
{AOI}$.

\item {} Un raisonnement analogue pour les triangles $OEI$ et $OBI$
prouve que \dresultat {\widehat {EOI} = \widehat {IOB}}. On notera $y
= \widehat {EOI}$.

\item {} Il est alors clair que $2 x + 2y = 180$, et donc $x+y = 90$
or $\widehat {IOJ} = x +y$. On a donc finalement prouvé que \dresultat
{\widehat {IOJ} = 90}, autrement dit que le triangle \tresultat
{$IOJ$ est rectangle}.

\itemalphnum Dans un triangle, la somme des angles fait $180°$. Appliqué
au triangle $OEI$, et en se rappelant que $x+y = 90$, on voit que
\dresultat {\widehat {EIO} = x}. 
De la même manière, dans le triangle $OAI$, on a clairement
\dresultat {\widehat {OIA} = y}.

\item {} Finalement, les triangles $OEI$ et $OEJ$ ont trois angles
égaux 2~à~2 (de mesures respectives, $x$, $y$ et $90$), ce qui prouve
qu'\tresultat {ils sont semblables}.

\itemalph Les triangles $OEI$ et $OEJ$ étant semblables, on a les
égalités de rapports
$$
   {EJ\over OE} = {OJ\over OI} = {OE\over IE}
      \qquad {\rm or} \qquad
   OE = OA = R
$$
et donc en particulier
$$
   {EJ\over R} = {R\over IE}
      \qquad {\rm or} \qquad
   \dresultat {EJ \times IE = R^2}
$$
On se rappelle ensuite que les triangles $OAI$ et $OEI$ étant
isométriques (d'après question {\bf 1.}), on a $EI = AI$, puis, de la
même façon, que $EJ = BJ$ puisque $OEI$ et $OBI$ sont isométriques
(toujours d'après question {\bf 1.}). En reportant dans l'égalité
précédente, on a alors \dresultat {AI\times BJ = R^2}.

\fincorrige

 

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