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\paragraphe{Arrangements d'un ensemble -- Permutations}

Soit $E$ un ensemble. On appelle {\sl arrangement de $p$ éléments de
$E$} un $p$-uplet de $E$ dont {\bf tous les éléments sont
distincts}.

Si $E$ est un ensemble fini de cardinal $n\in \nset$, alors il n'y a
qu'un nombre fini d'arrangements de $p$~éléments de $E$. On note
$A_n^p$ ce nombre, et on a la propriété~:
$$
\dresultat{\tvi height 12pt
   A_n^p = \underbrace{n \times (n-1) \times (n-2) \times
   \ldots \times (n-p+1)}_{p\ {\rm facteurs}}}
      \qquad \hbox{avec la convention} \qquad
   \dresultat{A_n^0 = 1}.
$$

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n\in \nset$. On appelle {\sl
permutation de $E$} tout arrangement de $n$ éléments de $E$. On
appelle {\sl factorielle $n$}, et on note $n!$, le nombre de
permutations de cet ensemble $E$. On a donc pour tout entier $n$
$$
\dresultat{\tvi height 12pt
   n! = A_n^n = \underbrace{n \times (n-1) \times (n-2) \times
   \ldots \times 2 \times 1}_{n\ {\rm facteurs}}}
      \qquad \hbox{avec la convention} \qquad
   \dresultat{0! = 1}.
$$
On aura ainsi
$$
   0! = 1, \quad
   1! = 1, \quad
   2! = 2, \quad
   3! = 6, \quad
   4! = 24, \quad
   5! = 120, \quad
   {\rm etc}\ldots
$$

Avec cette nouvelle notation , on peut écrire le nombre $A_n^p$ sous
la forme suivante~:
$$
   \dresultat{A_n^p = {n! \over (n-p)!}}
$$
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3819202 - 1 décembre 2008)