Source de cours

$Fichier TeX$
\paragraphe{Calcul matriciel élémentaire}

\sparagraphe{Addition de 2~matrices}

Soit $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ deux matrices $(n, p)$ (c'est à
dire $n$ lignes et $p$ colonnes). La matrice $A + B = (c_{ij})$ est la
matrice $(n, p)$ telle que, pour tout couple d'indices $(i, j)$
vérifiant $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq p$, on ait
$$
   c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.
$$

Par exemple,
$$
   \pmatrix{
      1 & 2 & 3 \cr
      4 & 5 & 6 \cr}
   + \pmatrix{
      7 & 8 & 9 \cr
      10 & 11 & 12 \cr}
   = \pmatrix{
      8 & 10 & 12 \cr
      14 & 16 & 18}
$$

\sparagraphe{Produit d'une matrice par un réel}

Soit $A = (a_{ij})$ une matrices $(n, p)$ et $\lambda$ un réel
quelconque. La matrice $\lambda \cdot A = (c_{ij})$ est la
matrice $(n, p)$ telle que, pour tout couple d'indices $(i, j)$
vérifiant $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq p$, on ait
$$
   c_{ij} = \lambda a_{ij}.
$$

Par exemple,
$$
   2 \cdot \pmatrix{
      1 & 2 & 3 \cr
      4 & 5 & 6 \cr}
   = \pmatrix{
      2 & 4 & 6\cr
      8 & 10 & 12}
$$


\sparagraphe{Produit de 2~matrices}

Soit $A = (a_{ij})$ une matrices $(n, p)$ et $B = (b_{ij})$ une
matrices $(p, q)$. La matrice $A \times B = (c_{ij})$ est la matrice
$(n, q)$ telle que, pour tout couple d'indices $(i, j)$ vérifiant $1
\leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq q$, on ait 
$$
   c_{ij} = \sum_{k = 1}^p  \big( a_{ik} \cdot b_{kj} \big)
      = a_{i1} b_{1j} +  a_{i2} b_{2j} + \cdots +  a_{ip} b_{pj} .
$$
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/linear/}
\epsfxsize 50mm
$$
   \epsillustrate {cours_06.ps}
$$

Ainsi, par exemple, on a
$$
   \pmatrix{
      1 & 2 \cr
      3 & 4 \cr
      5 & 6 \cr}
   \times
   \pmatrix{
      7  & 8 \cr
      9  & 10 \cr}
   = \pmatrix{
      1 \times 7 + 2 \times 9 & 1 \times 8 + 2 \times 10 \cr
      3 \times 7 + 4 \times 9 & 3 \times 8 + 4 \times 10 \cr
      5 \times 7 + 6 \times 9 & 5 \times 8 + 6 \times 10 \cr}
   = \pmatrix{
      25 & 28 \cr
      57 & 64 \cr
      89 & 100 \cr}
$$

\remarque
Pour le calcul du coefficient $a_{ij}$, on utilise donc la $i^{\rm
ème}$~ligne de la première matrice, et la $j^{\rm ème}$~colonne de la
deuxième matrice.
\finremarque

\sparagraphe{Propriétés}

On retrouve des propriétés analogues à certaines bien connues dans
$\rset$~: si $\lambda$ est un réel quelconque et $A$, $B$ et $C$ trois
matrices telles que les opérations ci-dessous aient un sens, on a

\itemitem{$\bullet$} $A \times (B \times C) = (A \times B) \times C$

\itemitem{$\bullet$} $A \times (B + C) = (A \times B) + (A\times C)$

\itemitem{$\bullet$} $A \times (\lambda B) = (\lambda A) \times B =
\lambda \cdot (A \times B)$

ATTENTION, la multiplication des matrices n'est pas commutative~: on a
$$
   A \times B \neq B \times A
      \qquad \hbox{en général}
$$
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3819068 - 1 décembre 2008)