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\paragraphe{Rappels et compléments sur les équations linéaires}

\sparagraphe{Vocabulaire}

$\bullet$ Une {\sl équation\/}, c'est une égalité mathématique
comportant des inconnues (ou variables). Suivant les valeurs que l'on
donne à ces inconnues, l'égalité peut être {\sl vraie\/}, {\sl
fausse\/} ou {\sl absurde\/} (i.e. sans aucun sens)%
\footnote{$^*$}{en fait, le mathématicien allemand Kurt G\"odel (né en
$1906$) a provoqué une véritable révolution dans le monde des
logiciens lorsqu'il a montré, en $1931$,  qu'une telle égalité peut 
aussi être {\sl indécidable}. C'est l'histoire de l'{\sl axiome du
choix\/}, bien connu des étudiants en mathématique~\dots}.
Par exemple, les égalités suivantes 
$$
   1 = 1,
      \qquad
   1 = 0,
      \qquad
   {1\over0} = 0.
$$
sont respectivement vraie, fausse, et absurde.

$\bullet$ {\sl Résoudre une équation dans un ensemble $E$\/}, c'est
déterminer l'ensemble $S$ des éléments de $E$ tels que l'équation soit
vraie. L'ensemble $S$ est appelé {\sl ensemble des solutions\/} de
l'équation.

$\bullet$ Deux équations sont dites {\sl équivalentes\/} lorsqu'elles
ont le même ensemble de solutions.

\sparagraphe{\'Equation linéaire à 1 inconnue}

On considère l'équation 
$$
   ax + b = 0,
      \qquad {\rm où} \quad
   (a, b) \in \rset^2.
\leqno
   (E)
$$
Si $a \neq 0$, il est bien connu que cette équation admet une solution
unique $x_0$ définie par $x_0 = a^{-1}b$, où $a^{-1}$ désigne le
nombre réel tel que $a \times a^{-1} = 1$.

Si $a = 0$, alors soit l'équation $(E)$ n'admet aucune solution, soit
elle en admet une infinité (en fait $\rset$ tout entier).

\sparagraphe{Système de 2 équations linéaires à 2 inconnues}

\setbox10 =\vbox{%
\halign{
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil # ={}$& $\hfil#$
\cr
   ax& +& by& c
\cr
   a'x& +& b'y& c'
\cr
}}

On considère le système
$$
   \left\{ \vcenter{\box10} \right.
      \qquad {\rm où} \quad
   (a, b, c) \in \rset^3
      \quad {\rm et}  \quad
   (a', b', c') \in \rset^3
$$

Une {\sl solution\/} de ce système est un couple $(x, y) \in \rset^2$
tel que les deux égalités soient vraies simultanément.

Géométriquement, si $(a, b) \neq (0, 0)$ et $(a', b') \neq (0, 0)$, on peut
interpréter ce système comme caractérisant
une intersection de droites dans le plan.

\bgroup \catcode`\| = 12

$\bullet$ Si 
$\displaystyle{
   \left|
      \matrix{a& b\cr a'& b' \cr}
   \right|
} \mathop=^{\rm def} ab' - a'b \neq 0$, alors le système admet une
solution unique. Géométriquement, on est dans le cas de deux droites
sécantes.

\egroup

$\bullet$ Sinon le système possède soit aucune solution, soit une
infinité (cas de deux droites parallèles).

\setbox10 =\vbox{%
\halign{
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil # ={}$& $\hfil#$
\cr
   x& -& y& 1 
\cr
   x& +& y& 1
\cr
}}

\remarque
La plupart de vos calculatrices sont capables de résoudre de tels
systèmes lorsqu'ils ont une solution unique. Elles utilisent pour cela
le {\sl calcul matriciel}. Par exemple, considèrons le système
$$
   \left\{ \vcenter{\box10} \right.
$$
qui admet pour solution unique dans $\rset^2$ le couple $(x, y) = (1,
0)$. En notation matricielle, ce système s'écrit
$$
   \pmatrix{1& -1\cr 1& 1\cr} \pmatrix{x \cr y\cr} = \pmatrix{1\cr 1\cr}
$$
soit $AX = B$ si l'on pose $A = \pmatrix{1& -1\cr 1& 1\cr} $, 
$X = \pmatrix{x \cr y\cr}$ et 
$B = \pmatrix{1\cr 1\cr}$.
\hfill\break
Si $\det A \neq 0$, le système admet alors une solution unique $X = A^{-1}B$.
\finremarque

\sparagraphe{Système de 3 équations linéaires à 3 inconnues}


\setbox10 =\vbox{%
\halign{
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil#$& $\hfil{}#{}$& 
   $\hfil # ={}$& $\hfil#$
\cr
   ax& +& by& +& cz& d
\cr
   a'x& +& b'y& +& c'z& d'
\cr
   a''x& +& b''y& +& c''z& d''
\cr
}}

On considère le système
$$
   \left\{ \vcenter{\box10} \right.
      \qquad {\rm où} \quad
   (a, b, c, d) \in \rset^4,
      \quad
   (a', b', c', d') \in \rset^4
      \quad {\rm et}  \quad
   (a'', b'', c'', d'') \in \rset^4
$$

Une {\sl solution\/} de ce système est un triplet $(x, y, z) \in \rset^3$
tel que les trois égalités soient vraies simultanément.

Géométriquement, on peut interpréter ce système comme caractérisant
une intersection de plans dans un espace à trois dimensions.

Un tel système possède~: soit une solution unique, soit aucune
solution, soit une infinité de solutions.
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.07s - 3819256 - 1 décembre 2008)