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$Fichier TeX$
\exo{Application linéaire de $\rset^3$ vers $\rset^3$}

L'espace vectoriel $\rset^3$ est muni de la base canonique $(\vec e_1,
\vec e_2, \vec e_3)$.

\itemnum On considère la matrice
$$
   M = \pmatrix{
      1& 1& 2
   \cr
      0& 1& 1
   \cr
      -1& 0& -2
   \cr}.
$$
Calculer $M^2$.

\itemnum Soit $f$, l'application linéaire de $\rset^3$ dans $\rset^3$
de matrice $M^2$ dans la base $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$.

\itemitemalph Déterminer les vecteurs $f (\vec e_1)$, $f (\vec e_2)$
et $f (\vec e_3)$.

\itemitemalph Soit $\vec v (3, 0, 1)$ et $\vec w (x, y, z)$ deux
vecteurs de $\rset^3$. Déterminer les trois nombres réels $x$, $y$ et
$z$ tels que l'on ait $f (\vec v) = \vec w$. (On rappelle que cela
implique $M^2 \times V = W$, si $V$ et $W$ sont respectivement les
matrices colonnes des coordonnées des vecteurs $\vec v$ et $\vec w$).

\finexo

\corrige{}

\itemnum On trouve
$$\dresultat{
   M^2 = \pmatrix{
      -1& 2& -1
   \cr
      -1& 1& -1
   \cr
      1& -1& 2
   \cr}}.
$$

\itemalphnum On a donc
$$
\mresultat{f (\vec e_1) = - \vec e_1 - \vec e_2 + \vec e_3},
   \qquad
\mresultat{f (\vec e_2) = 2 \vec e_1 + \vec e_2 - \vec e_3},
   \qquad
\mresultat{f (\vec e_3) = - \vec e_1 - \vec e_2 + 2 \vec e_3}.
$$
Autrement dit, les coordonnées, dans la base $(\vec e_1, \vec e_2,
\vec e_3)$, de vecteurs $f (\vec e_1)$, $f (\vec e_2)$ et $f (\vec
e_3)$ sont respectivement \mresultat{(-1, -1, 1)}, \mresultat{(2, 1, -1)} et \mresultat{(-1, -1, 2)}.

\itemalph On a
$$
   \pmatrix{
      -1& 2& -1
   \cr
      -1& 1& -1
   \cr
      1& -1& 2
   \cr} \times
   \pmatrix{
      3
   \cr
      0
   \cr
      1
   \cr} = 
   \pmatrix{
      x
   \cr
      y
   \cr
      z
   \cr}
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat{\vec w = (-4, -4, 5)}
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3819212 - 1 décembre 2008)