Source de bin

$Fichier TeX$
\exo {Loi binômiale et contrôle de livraison}

\` A la livraison d'un nombre très important de pièces dont $1\% $
sont défectueuses, on prélève au hasard un échantillon de 50~pièces.

La population est suffisamment importante pour que l'on puisse
assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~pièces. On a
donc une succession de cinquante épreuves indépendantes.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de
50~pièces le nombre de pièces défectueuses.

\itemnum Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binômiale. Donner les
paramètres de cette loi.

\itemnum Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité des événements
suivants~:

\itemitemalph $A$~: \og {\sl L'échantillon ne comporte aucune pièce
défectueuse}\fg ;

\itemitemalph $B$~: \og {\sl L'échantillon comporte une seule pièce
défectueuse}\fg ;

\itemitemalph $C$~: \og {\sl L'échantillon comporte au moins deux pièces
défectueuses}\fg ;

\finexo

\corrige {}

\itemnum L'épreuve aléatoire consiste à effectuer un tirage au hasard
d'une pièce dans le stock. \tresultat {2~issues sont possibles}~: la
pièce est avec ou sans défaut, la probabilité d'avoir un défaut étant
de $0, 01$. On effectue $50$ fois cette expérience, les 50~expériences
étant \tresultat {indépendantes}. La variable $X$ comptant le nombre
de fois où on a eu un défaut, elle suit \tresultat {la loi binômiale
${\cal B} (50; 0, 01)$};

\itemalphnum On a alors
$$
   p (X=0) = C_{50}^0 (0, 01)^0 (0, 99)^{50}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (X=0) \approx 0, 605}.
$$

\itemalph De même
$$
   p (X=1) = C_{50}^1 (0, 01)^1 (0, 99)^{49}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (X=1) \approx 0, 306}.
$$

\itemalph Et enfin
$$
   p (X \geq 2) = 1 - p (X<2) = 1 - p (X=0) - p (X=1)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (X\geq 2) \approx 0, 089}.
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.07s - 3819423 - 2 décembre 2008)