Source de cond

$Fichier TeX$
\exo {Probabilités conditionnelles}

Deux machines $M_A$ et $M_B$ produisent chaque jour respectivement 100
et 200~pièces du même modèle. La machine $A$ sort 5\% de pièces
défectueuses, la machine $M_B$ en sort 6\%.

\itemnum Faire un diagramme ensembliste pour représenter la situation
journalière. 

\itemnum Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant qui
résume la situation journalière~:
$$
\vcenter{\offinterlineskip\halign{
   % preamble
      #\tv && \cc{#}& #\tv
   \cr
      & &&
       \tvi depth 12pt
       $\matrix {
         \hbox{Nombre de pièces} \cr 
         \hbox{produites par $M_A$}}$
      && 
       $\matrix{
         \hbox{Nombre de pièces} \cr 
         \hbox{produites par $M_B$}}$
      && Total&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & 
       \tvi depth 12pt height 15pt
       $\matrix{
         \hbox{Nombre de pièces} \cr 
         \hbox{défectueuses}}$
      && && && &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & 
       \tvi depth 12pt height 15pt
       $\matrix{
         \hbox{Nombre de pièces} \cr 
         \hbox{non défectueuses}}$
      && && && &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & Total&& && && 300&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}
$$

\itemnum Un jour donné, on choisit au hasard une pièce parmi la
      production des deux machines. On admet que l'on est dans une
      situation d'équiprobabilité.

\item{} On considère les événements suivants~:

\itemitem{} $A$~: \og {\sl La pièce choisie provient de la machine $M_A$}\fg

\itemitem{} $B$~: \og {\sl La pièce choisie provient de la machine $M_B$}\fg

\itemitem{} $D$~: \og {\sl La pièce choisie est défectueuse}\fg

\itemitem{} $\overline D$~: \og {\sl La pièce choisie n'est pas défectueuse}\fg

\item{} Calculer la probabilité des événements suivants~:
$$
   A, \qquad
   B, \qquad
   D, \qquad
   \overline D, \qquad
   A \cap D, \qquad
   B \cap \overline D.
$$

\itemnum On note $p_D (A)$ la probabilité de l'événement \og {\sl $A$
   sachant $D$}\fg, autrement dit la probabilité que la pièce choisie
   provienne de la machine $M_A$, sachant que cette pièce est
   défectueuse.

\itemitemalph Déterminer les probabilités $p_D (A)$ et $p_{\overline
   D} (B)$.

\itemitemalph \`A l'aide des questions précédentes, vérifier que l'on
a bien
$$
   p_D (A) \times p (D) = p (A \cap D)
      \qquad {\rm et} \qquad
   p_{\overline D} (B) \times p (\overline D) = p (B \cap \overline D)
$$

\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 7 octobre 2004 (0.07s - 3819039 - 1 décembre 2008)