Source de cond

$Fichier TeX$
\exo{Fiabilité de contrôles de moteurs en Formule~1}

Un constructeur de moteurs pour \og Formule~1\fg\ fabrique des moteurs de
compétition. La probabilité qu'un de ces moteurs soit exempt de
défaut, et par suite ne casse pas lors d'un grand prix, est~$0,
8$. On dira pour simplifier qu'un tel moteur est \og bon\fg, et on
notera $B$ l'événement~: \og {\sl le moteur est bon}\fg.

Avant chaque Grand Prix, un contrôle très sévère est effectué~: soit
le moteur est déclaré utilisable, soit il est rejeté.

On note $U$ l'événement~: \og {\sl le contrôle déclare le moteur
utilisable}\fg.

Ce contrôle n'est pas infaillible~:

\item{--} sachant qu'un moteur est bon, il est déclaré utilisable dans
$95\%$~ des cas;

\item{--} sachant qu'un moteur a un défaut, il est rejeté dans
$80\%$~des cas.

On choisit un moteur au hasard la veille du grand prix du Zimbabwé.

\itemnum Calculer la probabilité des événements suivants~:

\itemitemalph $V$~: \og {\sl le moteur est bon et il est déclaré
utilisable}\fg,

\itemitemalph $W$~: \og {\sl le moteur a un défaut et il est déclaré
utilisable}\fg. 

\itemitemalph En déduire la probabilité de $U$.

\itemnum Montrer que la probabilité qu'un moteur soit bon, sachant
qu'il est déclaré utilisable, est~$0, 95$.

\finexo

\corrige 

On résume la situation par un tableau en ramenant la situation sur
$100$ moteurs~:
$$
\vcenter{\offinterlineskip\halign{
   % preamble
      #\tv && \cc{$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign{\hrule }
      & && B&& \overline B&& {\rm total}&
   \cr
   \noalign{\hrule }
      & U&& \bf 76&& 4&& 80&
   \cr
   \noalign{\hrule }
      & \overline U&& 4&& \bf 16&& 20&
   \cr
   \noalign{\hrule }
      & {\rm total}&& \bf 80&& 20&& 100&
   \cr
   \noalign{\hrule }
}}
   \qquad \qquad
\vcenter {
   \hsize .3 \hsize
   $p (B) = 0, 8 \longrightarrow 0, 80 \times 100 = 80 $\par
   $p _B (U) = 0, 95 \longrightarrow 0, 95 \times 80 = 76 $\par
   $p _{\overline B} (\overline U) = 0, 8 \longrightarrow 0, 80 \times 20 = 16 $\par
}
$$

\everymath = {\displaystyle }

\itemnum On a alors, par simple lecture du tableau~:
$$
   \alph \quad p (V) = p (B \cap U) = {76\over 100}
      \qquad \qquad
   \alph \quad p (W) = p (\overline B \cap U) = {4\over 100}
      \qquad \qquad
   \alph \quad p (U) = {80\over 100}
$$

\itemnum Toujours par lecture du tableau, on a 
\dresultat {p_U (B) = {76\over 80} = 0, 95}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 3 novembre 2005 (0.08s - 3819341 - 2 décembre 2008)