Source de cond

$Fichier TeX$
\exo{Test de contrôle dans l'industrie pharmaceutique}

Une société de produits pharmaceutiques fabrique en très grande
quantité un certain type de comprimés.

Un comprimé est conforme si sa masse exprimée en grammes appartient à
l'intervalle $[1, 2;1, 3]$.

La probabilité qu'un comprimé soit conforme est $0, 98$. On choisit un
comprimé au hasard dans la production.

On note~:

\item{} $A$~: l'événement \og {\sl le comprimé est conforme}\fg;

\item{} $B$~: l'événement \og {\sl le comprimé est refusé}\fg.

On contrôle tous les comprimés. Le mécanisme de contrôle est tel que~:

\itemitem{--} un comprimé qui est conforme est accepté avec une
probabilité de $0, 98$.

\itemitem{--} un comprimé qui n'est pas conforme est refusé avec une
probabilité de $0, 99$.

On a donc
$$
   p (A) = 0, 98
      \qquad \qquad
   p (\overline{B} | A) = 0, 98
      \qquad \qquad
   p (B | \overline{A}) = 0, 99
$$

\itemnum Déterminer
$$
   p (B|A),
      \qquad \qquad
   p (B \cap A),
      \qquad \qquad
   p (B \cap \overline{A}),
$$

\itemnum Calculer

\itemitemalph la probabilité qu'un comprimé soit refusé,

\itemitemalph la probabilité qu'un comprimé soit conforme, sachant
      qu'il est refusé.

\finexo

\corrige{}

%% ===== local ======
\def \T{%
   {\rm Total}}
%% ==================
{\bf Avec un dessin ou un tableau}

On essaye de récapituler la situation avec un dessin ou un tableau sur
une population $\Omega$ de cardinal $10\, 000$ (d'où le contenu de la case
$(\T, \T )$)~:
$$\vbox{\halign{
   \offinterlineskip
   %% preamble
      #\tv && \cc{$#$}& #\tv 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & && B && \overline{B} && {\rm Total}&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & A&& 196&& 9\, 604&& 9\, 800&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & \overline A && 198&& 2&& 200&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & {\rm Total}&& 394&& 9\, 606&& 10\, 000&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}$$

De $p (A) = 0, 98$, on tire le contenu de la case $(A, {\T})
\rightarrow 9\, 800$. 

On sait que $p (\overline{B} | A) = 0, 98$,
autrement dit, parmi la population de $A$, il y a $98\%$ de
non$B$. Ce que l'on peut encore traduire par $\card (A \cap \overline
B) = 0, 98 \times \card (A)$. On en déduit le contenu de la case $(A, 
\overline{B}) \rightarrow 9\, 604$.

De plus, $p (B | \overline A) = 0, 99$. Il y a donc $99\%$ de $B$ chez
les non$A$, ou encore, $\card (B \cap \overline{A}) = 0, 99 \times
\card \overline{A}$. On en déduit le contenu de la case $(\overline A,
B) \rightarrow 198$.

Reste à compléter le tableau, ce qui n'est plus qu'un jeu d'enfant.

\itemnum On a alors, par lecture directe~:
$$\displaylines{
   p (B|A) = {\card (B \cap A) \over \card A} 
      = {196 \over 9\, 800},
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (B|A) = 0, 02}
\cr   
   p (B \cap A) = {\card (B \cap A) \over \card \Omega} 
      = {196 \over 10\, 000} 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (B \cap A) = 0, 019\, 6}
\cr
   p (B \cap \overline A) = {\card (B \cap \overline A) \over \card \Omega} 
      = {198 \over 10\, 000} 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (B \cap \overline A) = 0, 019\, 8}
\cr
}$$

\itemalphnum On a de la même façon
$$
   p (B) = {\card (B) \over \card \Omega} 
      = {394 \over 10\, 000} 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (B) = 0, 039\, 4}
$$

\itemalph et
$$
   p (A  | B) = {\card (A \cap B) \over \card B} 
      = {196 \over 394} 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (A  | B) \simeq 0, 497\, 5}
$$

{\bf Avec les formules}
\clearnumno

Pour alléger l'écriture, je note $p_A (B)$ la probabilité $p
(B|A)$. On a donc, par hypothèse,
$$
   p (A) = 0, 98
      \qquad \qquad
   p_A (\overline{B}) = 0, 98
      \qquad \qquad
   p_{\overline{A}} (B) = 0, 99
$$

\itemnum $\bullet$ On commence par utiliser une formule à peine vue en
      cours, mais utilisée lors de l'exercice sur les groupes sanguins
      ({\sl formule des probabilités totales})~: comme $(B, 
      \overline B)$ est une partition de $\Omega$, on peut affirmer que
$$
   \dresultat{p (A \cap B) + p (A \cap \overline B) = p (A)}.
$$
On en déduit alors, puisque $p (A \cap B) = p (A) \times p_A (B)$
par définition, que 
$$
   p (A) \times p_A (B) + p (A) \times p_A (\overline B) = p (A)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p_A (B) + p_A (\overline B) = 1}
$$
Connaissant $p_A (\overline B)$, on peut alors calculer $p_A (B) = 1 - 0, 98$,
soit \dresultat{p_A (B) = 0, 02}.

\item{} $\bullet$ Maintenant, de la définition $p_A (B) = p (A \cap B)
/ p (A)$, on tire $p (A \cap B) = p_A (B) \times p (A) = 0, 02 \times
0, 98$ soit \dresultat{p (A \cap B) = 0, 019\, 6}.

\item{} $\bullet$ Pour le dernier, on utilise encore la conséquence
directe de la définition pour dire que 
$$
   p (B \cap \overline A) = p (\overline A) \times p_{\overline A} (B)
      = (1 - p (A)) \times p_{\overline A} (B)
      = 0, 02 \times 0, 99
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (B \cap \overline A) = 0, 019\, 8}
$$

\itemalphnum Comme $(A, \overline A)$ est une partition de $\Omega$,
      on peut réutiliser la formule des probabilités totales pour dire que
$$
   p (B \cap \overline A) + p (B \cap A) = p (B)
       \qquad {\rm ie} \qquad
   0, 019\, 8 + 0, 019\, 6 = p (B)
       \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (B) = 0, 039\, 4}
$$

\itemalph Enfin, comme
$$
   p_B (A) = {p (A \cap B) \over p (B)} = {0, 019\, 6 \over 0, 039\, 4}
      \quad {\rm par\ définition},
      \qquad {\rm on\ a} \qquad
   \dresultat{p_B (A) \simeq 0, 497\, 5}
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.06s - 3819404 - 2 décembre 2008)