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$Fichier TeX$
\paragraphe{Loi de probabilité -- Fonction de répartition}

On considère une expérience aléatoire donnée, et une variable
aléatoire $X$ associée à cette expérience. On note $\Omega$ l'univers
de cette expérience.

\sparagraphe{Cas d'une variable $X$ discrète}

On appelle {\sl loi de probabilité de $X$}, ou encore {\sl
distribution\/} de $X$, la fonction définie de $X (\Omega)$ vers $[0,
1]$ par
$$
   \dresultat{f (k) = p (X=k)}
      \qquad
   \hbox{où $p (X=k)$ désigne la probabilité que $X$ soit égale au
      réel $k$}.
$$

La {\sl fonction de répartition\/} de la variable aléatoire $X$ est la
fonction $F$, définie de $\rset$ vers $[0, 1]$ par
$$\dresultat{
   F (x) = p (X \leq x)
}$$

On remarque que la fonction de répartition $F$ est croissante (au sens
large) sur $\rset$.

\sparagraphe{Cas d'une variable $X$ continue}

On appelle {\sl densité de probabilité de $X$}, la fonction définie de
$X (\Omega)$ vers $[0, 1]$ par
$$
   \dresultat{f (k) = p (X=k)}
      \qquad
   \hbox{où $p (X=k)$ désigne la probabilité que $X$ soit égale au
      réel $k$}.
$$
La variable aléatoire $X$ étant continue, cette fonction $f$ sera
également continue.

Admettons que, par exemple, $X$ ne prenne pas de valeur
négative. Autrement dit, si $X (\Omega) \subset [0, +\infty[$. Alors
la {\sl fonction de répartition\/} de la variable aléatoire $X$ est la
fonction $F$, définie de $\rset$ vers $[0, 1]$ par
$$\dresultat{
   F (x) = \int_0^x (f (t)) \, dt.
}$$
(Si $X$ prend des valeurs négatives, on adapte cette définition par
l'exemple.)

On remarque que là encore,  la fonction de répartition $F$ est
croissante (au sens large) sur $\rset$.

On a alors la propriété remarquable suivante, pour tous $a$ et $b$
tels que $b \geq a \geq 0$~:
$$\dresultat{
   p (a \leq X \leq b) = F (b) - F (a) = \int_a^b f (t) \, dt
}$$
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3819425 - 2 décembre 2008)