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\paragraphe{Définitions et propriétés élémentaires}

%% Tout le contenu de ce paragraphe est extrait du livre d'Analyse 
%% de $1^{ère}$~S, collection Terracher, Hachette 1995, pages 93-108.

\sparagraphe{Vocabulaire}

On considère une expérience {\sl aléatoire\/} (c'est à dire dont
le résultat dépend du hasard). L'en\-sem\-ble de toutes les issues
de cette expérience est appelé {\sl univers des possibles\/}; on le
note souvent $\Omega$.

On appelle {\sl événement\/} toute partie de l'univers des possibles, un 
événement réduit à une seule issue étant appelé {\sl événement 
élémentaire}. Le tableau qui suit résume les définitions et notations
usuelles relatives à la notion d'événement~:

\medskip

\centerline{\hbox{\vbox{
   \def \trait{%
      \noalign{\hrule}}
   \halign{%
      \offinterlineskip
      % preamble
      \vrule \strut \quad # \quad \hfil \vrule && \quad # \hfil \quad \vrule 
   \cr
   \trait
      % first line
      \hfil {\bf langage ensembliste} & 
      \hfil {\bf langage des probabilités} &
      \hfil {\bf notation} 
   \cr
   \trait
      $A$ est une partie de $\Omega$ & 
      $A$ est un événement & 
      \hfil $A \subset \Omega$
   \cr
   \trait
      $A$ est vide &
      l'événement $A$ est impossible &
      \hfil $A = \emptyset$
   \cr
   \trait
      $A$ est égal à $\Omega$ &
      l'événement $A$ est certain &
      \hfil $A = \Omega$
   \cr
   \trait
      $C$ est la {\sl réunion\/} de $A$ et $B$ &
      $C$ est l'événement ($A$ ou $B$) &
      \hfil $C = A \cup B$
   \cr
   \trait
      $C$ est l'{\sl intersection\/} de $A$ et $B$ &
      $C$ est l'événement ($A$ et $B$) &
      \hfil $C = A \cap B$
   \cr
   \trait
      $A$ et $B$ sont {\sl disjoints\/} &
      $A$ et $B$ sont {\sl incompatibles\/} &
      \hfil $A \cap B = \emptyset$
   \cr
   \trait
      $A$ et $B$ sont {\sl complémentaires\/} &
      $A$ et $B$ sont des événements {\sl contraires\/} &
      \hfil $A = \raise -.2mm \hbox{$\overline B$} = \, ^c \! B $
   \cr
   \trait}
}}}

\sparagraphe{Situation d'équiprobabilité}

Lorsque toutes les issues ont la même probabilité d'apparaître, on dit 
que l'on est dans une {\sl situation d'équiprobabilité}. Dans ce cas, 
si $\card \Omega = n$, la probabilité de chacun des événements 
élémentaire de $\Omega$ est $1 / n$. En découle le fait que si 
l'événement $A$ est composé de $p$ événements élémentaires, alors la
probabilité de $A$ est $p (A) = p / n$, formule que l'on se rappelle
souvent sous la forme 
$$\dresultat{
   p (A) = {\card A \over \card \Omega} 
         = {\hbox{nombre de cas favorables} \over 
            \hbox{nombre de cas possibles}}
}$$

En fait, la majeure partie des problèmes de Bts se situent sous
l'hypothèse d'équiprobabilité (ou alors on s'y ramène, au moins en
pensée, par exemple en numérotant les boules lors d'un tirage dans une 
urne), et l'une des premières choses à faire lors d'un exercice
(après avoir lu son texte et traduit les hypothèses), consiste à
dénombrer le cardinal de l'univers des possibles.

\sparagraphe{Les premiers théorèmes}

Ils sont au nombre de trois et sont valables y compris dans les cas
de non-équiprobabilité.

\itemitemnum Si $A$ et $B$ sont des événements {\bf incompatibles}, (i.e. si
$A \cap B = \emptyset$) alors 
$$
   p (A \cup B) = p (A) + p (B).
$$

\itemitemnum Quel que soit l'événement $A$, la probabilité de l'événement 
contraire $\overline A$ est donnée par
$$\dresultat{
   p (\overline A) = 1 - p (A).
}$$

\itemitemnum Quels que soient les événements $A$ et $B$, on a
$$\dresultat{
   p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B).
}$$
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3819363 - 2 décembre 2008)