Source de cour

$Fichier TeX$
\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/proba/}

\paragraphe{Loi binômiale (épreuves indépendantes répétées)}

On considère une expérience aléatoire n'ayant que {\bf deux issues possibles}~:
$A$ et $\overline A$ (souvent appelés {\sl succès\/} et {\sl échec\/}),
et on répète $n$ fois de suite cette expérience, 
en faisant l'hypothèse que chaque expérience est {\bf indépendante des
précédentes} (cas du jeu de Pile ou Face par exemple). On dit que l'on
est dans le cadre d'un {\sl schéma de Bernouilli}.

On note $p$ la probabilité de $A$ et $q = 1-p$ la probabilité de
$\overline A$.

On note $X$ la variable aléatoire indiquant le nombre de fois où $A$
est réalisé après les $n$ expériences.

Alors la loi de probabilité de $X$, notée ${\cal B} (n, p)$, est
appelée {\sl loi binômiale de paramètres $n$ et $p$}, et elle est
caractérisée par
$$\dresultat{
   p (X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} = C_n^k p^k q^{n-k}
}$$

On montre alors que son espérance, sa variance et son écart-type
vérifient
$$
   \dresultat{E (X) = np}
      \qquad \qquad
   \dresultat{V (X) = npq}
      \qquad \qquad
   \dresultat{\sigma (X) = \sqrt{npq}}
$$

\assert Exemple~: Jeu de Pile ou Face.

On lance une pièce de monnaie 60 fois de suite, et on appelle $X$ la
variable aléatoire qui, à chaque série de 60~lancers, associe nombre
de fois où est sorti le {\sl Pile}. 

Chaque lancer est indépendant des précédents, et il n'y a que 2~issues
possibles ({\sl Pile\/} ou non); la variable aléatoire $X$ suit donc
une loi binômiale. Comme la probabilité d'obtenir {\sl Pile\/} est
$1/2$, et qu'il y a 60~expériences, cette loi est la loi ${\cal B}
(60; 1/2)$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous~:
%
\epsfxsize = 120mm
$$\displaylines{
   \superboxepsillustrate{cour_009.ps}
\cr
   \tresultat {loi binômiale $\cal B$ (60; 1/2)}
\cr
}$$

La probabilité d'obtenir 25~{\sl Pile\/}  sur les 60~lancers est
$$
   p (X=25) = C_{60}^{25} \times \left( {{1\over 2}} \right)
   ^{25} \times \left( {{1\over 2}} \right) ^{35} \approx 0, 045.
$$

\endassert

\assert Exemple~: Jeu de dé.
On jette un dé bien équilibré à 6~faces. La probabilité d'obtenir le
numéro~$\oldstyle 6$ sur un lancer est de $1/6$. 
On considère l'épreuve qui consiste à lancer 60~fois de suite le dé, en
notant à chaque fois le numéro obtenu.

On considère maintenant 2~variables aléatoires distinctes~:

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque épreuve de 60~lancers
associe le nombre de fois où l'on a obtenu le numéro~$\oldstyle 6$, et
on note $Y$ la variable aléatoire qui à chaque épreuve de 60~lancers 
associe le nombre de fois où l'on a {\bf pas} obtenu le numéro~$\oldstyle 6$.

Ces 2~variables sont évidemment liées~: quel que soit la série de
60~lancers, on aura $X + Y = 60$.

Que ce soit du point de vue de la variable $X$ ou de celui de la
variable $Y$, l'expérience consistant à lancer une fois le dé est
indépendante des autres expériences, et ne comporte que 2~issues
possibles (on obtient le 6 ou pas, le succès du point de vue de $X$
étant l'échec du point de vue de $Y$ et réciproquement).

On en déduit que la variable $X$ suit la loi binômiale ${\cal B} (60;
1/6)$ alors que la variable $Y$ suit la loi binômiale ${\cal B} (60;
5/6)$.

\newbox \boxone
\newbox \boxtwo

\setbox \boxone \vbox {%
\hsize 70mm
\epsfxsize = 60mm
$$\displaylines{
   \superboxepsillustrate{cour_009a.ps}
\cr
   \tresultat {loi binômiale $\cal B$ (60; 1/6)}
\cr
}$$
}

\setbox \boxtwo \vbox {%
\hsize 70mm
\epsfxsize = 60mm
$$
\displaylines{
   \superboxepsillustrate{cour_009b.ps}
\cr
   \tresultat {loi binômiale $\cal B$ (60; 5/6)}
\cr
}$$
}

Les représentations graphiques de ces lois sont données ci-dessous~:
%
$$
   \box \boxone
   \box \boxtwo
$$

La probabilité d'obtenir 10 fois le numéro~$\oldstyle 6$
sur 60 lancers est~: 
$$
\eqalign {
   p (X=10) = C_{60}^{10} \left( {1\over 6} \right)^{10} \left( 1 - {1\over 6}
   \right)^{50} &= {60! \over 10! 50!} \times \left( {1\over 6}\right)
   ^{10} \times \left( {5\over 6} \right) ^{50}
\cr
   &= {60 \times 59 \times \ldots \times 51 \over 10 \times 9 \times
   \ldots \times 2 \times 1} \times {5^{50}\over 6^{60}}
   \approx 0, 137
\cr
}$$

La probabilité d'obtenir 50 fois un autre numéro que le numéro~$\oldstyle 6$
sur les 60 lancers est~: 
$$
\eqalign {
   p (Y=50) = C_{60}^{50} \left( {5\over 6} \right)^{50} \left( 1 - {5\over 6}
   \right)^{10} &= {60! \over 50!10! } \times \left( {5\over 6}\right)
   ^{50} \times \left( {1\over 6} \right) ^{10}
\cr
   &= {60 \times 59 \times \ldots \times 51 \over 10 \times 9 \times
   \ldots \times 2 \times 1} \times {5^{50}\over 6^{60}}
   \approx 0, 137
\cr
}$$

Ces deux probabilités sont bien sûr égales puisque, comme $X+Y = 60$,
on a $Y = 60-X$ et donc 
$$
   p (X = 10) = p (-X = -10) = p (60-X = 60-10) = p (Y=50).
$$
Ici, les espérances des variables $X$ et $Y$ sont respectivement
$$
   E (X) = 60 \times {1 \over 6} = 10
      \qquad {\rm et} \qquad
   E (Y) = 60 \times {5 \over 6} = 50.
$$
\endassert
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.09s - 3819222 - 1 décembre 2008)