Source de cour_011.tex
\paragraphe{Loi normale (dite de Laplace-Gauss)}
\sparagraphe{Cas général}
Une variable aléatoire {\bf continue} $X$ suit une {\sl loi normale de
paramètres $m$ et $\lambda$} lorsque sa densité de probabilité est la
fonction $f$ définie par
$$\dresultat{
f (x) = {1\over \sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-{1\over2} \left( {x-m \over
\sigma}\right)^2}
}
\qquad {\rm où} \qquad
\sigma \geq 0
\quad {\rm et} \quad
m \in \rset.
$$
Elle est notée ${\cal N} (m, \sigma)$ et on montre que sa variance et
son écart-type vérifient~:
$$
\dresultat{E (X) = m}
\qquad \qquad
\dresultat{V (X) = \sigma^2}
\qquad {\rm et} \qquad
\dresultat{\sigma (X) = \sigma}
$$
En étudiant les variations de cette fonction, on remarque que
$$
f (x+m) = f (x-m).
$$
La courbe $C_f$ présente donc une symétrie par rapport à l'axe
vertical d'équation $x=m$.
On a
$\displaystyle{
f' (x) = {1\over \sigma \sqrt{2\pi}} \cdot
e^{-{1\over2} \left( {x-m \over \sigma}\right)^2} \cdot
\left( - {1\over2}\right) 2 \cdot
\left( {x-m \over \sigma}\right)^1 \cdot
{1\over \sigma}
}$, du signe opposé à $(x-m)$. d'où le tableau de variations~:
$$
\dresultat{\vbox{
\eightpoint\rm
\def \hfq{\hfil \ }
\offinterlineskip
\halign{
% preamble
&\hfq #\hfq
\cr
$x$& \vrule&
$-\infty$&& $m$&& $+\infty$%
\cr
\noalign{\hrule}
$f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt
&& $+$& $0$& $-$%
\cr
\noalign{\hrule}
\bbuucenter{$f (x)$}& \vrule&
\down{$0$}&
\bbrightuuparrow & \bbuup{$\displaystyle{1\over \sigma \cdot \sqrt{2\pi}}$}&
\bbrightddownarrow & \down{$0$}%
\cr
}}
}$$
%
et la courbe
%
\def \epspath{%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/proba/}
\epsfxsize = 80mm
%
$$\displaylines{
\superboxepsillustrate{cour_011a.ps}
\cr
\hbox{loi normale ${\cal N} (m, \sigma)$, avec $m = 1, 2$ et
$\sigma = 0, 5$}
\cr
}$$
\sparagraphe{Loi normale centrée réduite}
On appelle {\sl loi normale centrée réduite\/} la loi normale ${\cal
N} (0, 1)$ de paramètres $m = 0$ et $\sigma = 1$. Et on a le théorème
suivant, qui permet de ramener l'étude de toute loi normale à l'étude
de la loi normale centrée réduite.
\assert Théorème .
Si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N} (m,
\sigma)$, alors la variable aléatoire $\displaystyle T = {X-m \over
\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$.
\endassert
La densité de probabilité de cette loi, et la fonction de répartition
sont données par~:
$$
\dresultat{
f (t) = {1\over \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-{t^2\over2}},
}
\qquad {\rm et} \qquad
\dresultat{
P (T \leq t) = \Pi (t) = \int_{-\infty}^t f (t) \, dt
}
$$
alors qu'espérance, variance et écart-type sont donnés par
$$
\dresultat{E (T) = 0}
\qquad \qquad
\dresultat{V (T) = 1}
\qquad \qquad
\dresultat{\sigma (T) = 1}
$$
et sa courbe représentative est la suivante~:
%
\def \epspath{%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/proba/}
%\epsfxsize = 80mm
%
$$\displaylines{
\superboxepsillustrate{cour_011b.ps}
\cr
\hbox{loi normale ${\cal N} (0, 1)$}
\cr
}$$
Pour calculer la probabilité d'un événement concernant une variable
aléatoire $T$ suivant la loi normale ${\cal N} (0, 1)$, on utilise en
général la table du formulaire et les deux propriétés suivantes~:
\itemitem{$\bullet$} cette courbe est symétrique par rapport à l'axe
des ordonnées,
\itemitem{$\bullet$} l'aire totale comprise entre la courbe et l'axe
des abscisses est égale à 1.
\assert Exemples~: .
\numno 0
\itemnum Calcul de $P (T \leq 1, 67) = \Pi (1, 67)$
$$
\superboxepsillustrate{cour_011e.ps}
$$
a table donne directement le résultat. Il suffit de trouver les deux
premiers chiffres de $t$ dans la colonne, soit $1, 6$~: le troisième
chiffre de $t$ est indiqué dans la première ligne, soit $0, 07$. La
réponse est donnée à l'intersection de la ligne correspondant à $1, 6$
et de la colonne correspondant à $0, 07$, soit $P (T \leq 1, 67) = 0,
952\, 5$.
$$\vbox{\offinterlineskip \halign{
% preamble
#\tv & \cc{$#$}& #\tv width .8pt && \cc{$#$}& #\tv
\cr
\noalign{\hrule}
& t && 0, 00 && 0, 01 && \ldots && 0, 07 && \ldots &
\cr
\noalign{\hrule height .8 pt}
& 0, 0 && 0, 500\, 0 && 0, 504\, 0 && \ldots && 0, 527\, 9 && \ldots &
\cr
& 0, 1 && 0, 539\, 8 && 0, 543\, 8 && \ldots && 0, 567\, 5 && \ldots &
\cr
& \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots &
\cr
& 1, 6 && 0, 945\, 2 && 0, 946\, 3 && \ldots && 0, 952\, 5 && \ldots &
\cr
& \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots &
\cr
\noalign{\hrule}
}}$$
\itemnum Calcul de $P (T \geq 1, 25)$.
$$
\superboxepsillustrate{cour_011f.ps}
$$
On a $P (T \geq 1, 25) = 1 - P (T < 1, 25)$, car $P (\overline A) = 1
- P (A)$.
\item {} Or $\Pi (1, 25) = P (T \leq 1, 25)$ et $P (T = 1, 25) = 0$ puisque $T$
est une variable aléatoire {\bf continue}, d'où~:
$$\eqalign{
P (T \geq 1, 25) &= 1 - \Pi (1, 25)
\cr
&= 1 - 0, 894\, 4
\cr
&= 0, 105\, 6.
\cr
}$$
\itemnum Calcul de $P (T \leq -1, 67)$.
$$
\superboxepsillustrate{cour_011g.ps}
$$
On a
$$\eqalign{
P (T \leq -1, 67) &= \Pi (-1, 67)
\cr
&= P (T \geq 1, 67) \qquad \hbox{vu la symétrie de la courbe}
\cr
&= 1 - \Pi (1, 67)
\cr
&= 1 - 0, 952\, 5
\cr
&= 0, 047\, 5
\cr
}$$
\itemnum Calcul de $P ((t_1 \leq T \leq t_2)$.
$$
\superboxepsillustrate{cour_011h.ps}
$$
On a bien évidemment
$$\dresultat{
P (t_1 \leq T \leq t_2) = \Pi (t_2) - \Pi (t_1).
}$$
\itemnum Dans le cas particulier où $t_1 = -t_2$, on a
$$
\superboxepsillustrate{cour_011i.ps}
$$
$$\eqalign{
P (-t \leq T \leq t) &= \Pi (t) - \Pi (-t)
\cr
&= 2 \left[ \Pi (t) - \Pi (0)\right] \qquad \hbox{vu la symétrie de
la courbe}
\cr
}$$
Or $\Pi (0) = 1/2$, d'où
$$\dresultat{
P (-t \leq T \leq t) = 2 \Pi (t) - 1
}$$
\item {} Par exemple
$$\displaylines{
P \left( -{2\over3} \leq T \leq {2\over3} \right) \simeq 0, 5
\qquad \qquad
P (-1 \leq T \leq 1) \simeq 0, 68
\qquad \qquad
P (-2 \leq T \leq 2) \simeq 0, 95
\cr
P (-2, 6 \leq T \leq 2, 6) \simeq 0, 99
\qquad \qquad
P (-3 \leq T \leq 3) \simeq 0, 997
\cr
}$$
\endassert
\sparagraphe{Retour au cas général}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale ${\cal N} (m,
\sigma)$. On sait que la variable $T = (X-m)/\sigma$ suit alors la loi
normale ${\cal N} (0, 1)$.
Si on veut calculer la probabilité $p (a \leq X \leq
b)$, on se ramène à la variable $T$, qui suit la loi normale centrée
réduite ${\cal N} (0, 1)$, pour pouvoir se servir du
formulaire. On procède alors de la façon suivante~:
$$\eqalign{
P (a \leq X \leq b) &= P (a-m \leq X-m \leq b-m)
\cr
&= P \left( {a-m \over \sigma} \leq {X-m \over \sigma} \leq {b-m
\over \sigma}\right)
\cr
&= P \left( {a-m \over \sigma} \leq T \leq {b-m \over \sigma}\right)
\cr
}$$
\sparagraphe {Quelques aires remarquables}
{\narrower \narrower
{\bf Avertissement~:} les valeurs indiquées dans ce paragraphe ne sont
données qu'à titre {\bf indicatif} afin de donner un ordre
d'idée. Pour un calcul précis (intervalle de confiance par exemple),
il faut impérativement se reporter aux formulaires dédiés.
\par
}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale ${\cal N} (m,
\sigma)$. On sait que
la variable $T = (X-m)/\sigma$ suit alors la loi normale ${\cal N} (0,
1)$,
Sur le graphique ci-dessous, on indique quelques une des aires remarquables~:
\def \epspath{%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/proba/}
\epsfxsize = 140mm
%
$$\displaylines{
\superboxepsillustrate{cour_011c.ps}
\cr
\tresultat {loi normale ${\cal N} (m, \sigma)$ et quelques aires remarquables}
\cr
}$$
En effet, on a $X = m + \sigma T$. Pour tout réel $t>0$, le calcul de $P
(-t \leq T \leq t)$ donne alors
$$\eqalign{
P (-t \leq T \leq t) &= P (-t\sigma \leq \sigma T \leq t\sigma)
\cr
&= P (m-t\sigma \leq m+\sigma T \leq m+t\sigma)
\cr
&= P (m-t\sigma \leq X \leq m+t\sigma)
\cr
}$$
On a ainsi, par exemple, $P (m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma) = 2 \Pi
(2) - 1 \approx 0, 95$. (Ce n'est qu'une approximation assez
grossière~: pour plus de
précision, il faudrait prendre $t = 1, 96$ et non pas $t=2$.)
\sparagraphe{Approximation d'un loi binômiale par une loi normale}
On admet que si $n$ est \og grand\fg\ et $p$ ni \og trop proche de 0\fg, ni
\og trop proche de 1\fg, alors la loi ${\cal B} (n, p)$ est très
proche de la loi ${\cal N} (m, \sigma)$ où $m = np$ et $\sigma =
\sqrt{np (1-p)}$. On convient en général d'utiliser cette
approximation lorsque $np$ et $n (1-p)$ sont supérieurs à 15. On
remarque que, lors d'une telle approximation, la moyenne et
l'écart-type sont conservés.
\epsfxsize = 100mm
$$
\displaylines {
\superboxepsillustrate{cour_011d.ps}
\cr
\tresultat {Approximation de la loi ${\cal B} (100; 0, 15)$ par la
loi ${\cal N} (15, \sqrt {100\times 0, 15\times 0, 85})$ }
\cr
}$$
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3819462 - 2 décembre 2008)
