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$Fichier TeX$
\exo{Des plaques isolantes}

Une usine fabrique des plaques isolantes pour le bâtiment. Deux
défauts de fabrication seulement sont possibles~: un défaut
d'épaisseur noté $e$, et un défaut de conductivité thermique noté $c$.

On choisit une plaque au hasard dans la production d'une journée.

On note $E$ l'événement \og {\sl la plaque présente le défaut $e$}\fg,
et $C$ l'événement \og {\sl la plaque présente le défaut $c$}\fg.

Une étude statistique a permis de déterminer les probabilités
suivantes~:
$$
   p (E) = 0, 02
      \qquad {\rm et} \qquad
   p (C) = 0, 1.
$$
On admet que les événements $E$ et $C$ sont indépendants.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants~:

\itemitemalph $F_1$~: \og {\sl La plaque présente les deux défauts}\fg,

\itemitemalph $F_2$~: \og {\sl La plaque présente au moins un défaut
(et peut-être les deux)}\fg,

\itemitemalph $F_3$~: \og {\sl La plaque ne présente aucun des deux
défauts}\fg,

\medskip

{\sl La question suivante est hors barême~:}

\medskip

\itemitemalph $F_4$~: \og {\sl La plaque présente un et un seul des deux
défauts}\fg.

\finexo

\corrige{}

\itemnum {\bf Avec les formules}

\itemalph On a $F_1 = E \cap C$, or les deux événements $E$ et $C$
sont supposés indépendants. Donc $p (E \cap C) = p (E) \times p (C) =
0, 02 \times 0, 1$. D'où \dresultat{p (F_1) = 0, 002}.

\itemalph On a $F_2 = E \cup C$, donc $p (F_2) = p (E) + p (C) - p
(E\cap C) = 0, 02 + 0, 1 - 0, 02$ soit \mresultat{p (F_2) = 0, 118}.

\itemalph On a $F_3 = \overline{F_2}$, donc $p (F_3) = 1 - p (F_2)$,
soit \mresultat{p (F_3) = 0, 882}.

\itemalph On a $F_4 = (E \cap \overline C) \cup (C \cap \overline E)$
(car un et un seul défaut signifie~: (le défaut $e$ ET pas le défaut
$c$) OU (le défaut $c$ ET pas le défaut $e$)).
Or, on a les résultats suivants~:

\itemitem{$\bullet$} les événements $(E \cap \overline C)$ et $(C \cap
\overline E)$ sont évidemment incompatibles (leur intersection est
vide),

\itemitem{$\bullet$} les événements $E$ et $\overline C$ sont
indépendants (puisque $E$ et $C$  sont indépendants),

\itemitem{$\bullet$} les événements $C$ et $\overline E$ sont
indépendants (puisque $E$ et $C$  sont indépendants).

\item{} Finalement, on a donc
$$\eqalign{
   p (F_4) &= p (E \cap \overline C) + p (C \cap \overline E)
\cr
   &= p (E) p (\overline C) + p (C) p (\overline E
\cr
   &= p (E) \big( 1 - p (C)\big) + p (C) \big( 1 - p (E)\big)
\cr
   &= 0, 02 \times 0, 9 + 0, 1 \times 0, 98
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (F_4) = 0, 116}
\cr
}$$

\itemnum {\bf Avec un tableau ou un dessin}

\item{} On commence par récapituler la situation dans un
tableau. Fixons la population de $\Omega$ à $1\, 000$~individus par
exemple. Le cardinal de $C$ est alors de $100$ puisque $p (C) = 0, 1$,
et le cardinal de $E$ est de $20$ puisque $p (E) = 0, 02$.

\item{} Reste à traduire le fait que les événements $E$ et $C$ sont
indépendants. Cela signifie que la proportion d'élements de $E$ dans
$C$ est la même que la proportion d'éléments de $E$ dans $\Omega$. En
d'autres termes, on a
$$
   {\card E \over \card \Omega} = {\card (E \cap C) \over \card C}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   {\card (E \cap C) \over \card C} = 0, 02.
$$
On a donc $\card (E \cap C) = 2$, ce qui donne le tableau
récapitulatif suivant~: 
$$\vbox{\offinterlineskip \halign{
   % preamble
      #\tv && \cc{$#$}& #\tv 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & && E&& \overline E&& {\rm total}&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & C&& 2&& 98&& 100&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & \overline C&& 18&& 882&& 900&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & {\rm total}&& 20&& 980&& 1\, 000&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}$$

\itemalph On a $F_1 = E \cap C$, donc 
$$
   p (F_1) = {\card (E \cap C) \over \card \Omega} = {2 \over 1\, 000}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (F_1) = 0, 002}.
$$

\itemalph On a $F_2 = E \cup C$, donc 
$$
   p (F_2) = {\card (E \cup C) \over \card \Omega} = {18 + 2 + 98
   \over 1\, 000}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (F_2) = 0, 118}.
$$

\itemalph On a $F_3 = \overline E \cap \overline C$, donc
$$
   p (F_3) = {\card (\overline E \cap \overline C) \over \card \Omega} 
   = {822 \over 1\, 000}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (F_3) = 0, 882}.
$$

\itemalph On a $F_4 = (E \cap \overline C) \cup (C \cap \overline E)$,
or ces deux événements sont incompatibles, donc
$$
   p (F_4) = {\card (E \cap \overline C) + \card (\overline E \cap
   C)\over \card \Omega} = {98 + 18 \over 1\, 000}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{p (F_4) = 0, 116}.
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 7 octobre 2004 (0.07s - 3819019 - 1 décembre 2008)