Source de synt

$Fichier TeX$
\exo {Coupes de plaques d'acier, \sl bts mai, session 1994}

Dans un atelier, une machine $A$ permet de couper des plaques d'acier
dont la longueur permet de définir une variable aléatoire qui suit une
loi normale de moyenne $M = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$ (les
longueurs étant exprimées en $\cm $).

\itemitemalphnum Quelle est, à $10^{-2}$ près par défaut, la
probabilité qu'une plaque ait une longueur extérieure à l'intervalle
$[98; 102]$~?

\itemitemalph Trouver une valeur approchée à $10^{-2}$ près du nombre
$a$ tel que $90\% $ des plaques aient une longueur dans l'intervalle
$[100 - a; 100 + a]$.

\itemnum On supppose maintenant que $3\% $ des plaques coupées par la
machine $A$ sont rejetées parce que leur longueur ne convient
pas. Dans un lot contenant un grand nombre de plaques, on en prélève
$N$. $X$ est la variable aléatoire qui, à cette épreuve, associe le
nombre de plaques dont la longueur est incorrecte.

\itemitemalph Quelle est la loi suivie par $X$~?

\itemitemalph On suppose $N = 5$. Calculer $p (X = 2)$.

\itemitemalph On suppose $N = 100$. Quel est le paramètre de la loi de
Poisson par laquelle on peut approcher la loi de $X$~?

\itemitem {} Donner alors une valeur approchée à $10 ^{-2}$ près de $p
(X = 8)$, de $p (X > 2)$.

\itemnum La machine $A$ coupe $500$ plaques par jour, dont $3\% $ sont
rejetées. On lui adjoint une machine $B$, et $9\% $ des plaques
coupées par cette machine $B$ sont rejetées.

\itemitemalph La machine $B$ coupe $1\, 000$ plaques par jour. 

\itemitem {} Quelle est alors la probabilité pour qu'une plaque coupée
dans l'atelier soit rejetée~?

\itemitemalph On veut que la probabilité de rejet d'une plaque reste
inférieure à $0, 05$. Quel nombre maximum de plaques peut-on couper avec
la machine $B$, sachant que $A$ coupe $500$ plaques par jour~?

\finexo

\corrige

\itemnum La variable $L$ suit la loi normale ${\cal N} (100; 1)$, donc
la variable $\displaystyle {T = L-100}$ syut la loi normale centrée
résuite ${\cal N} (0; 1)$.

\itemalph Il vient
$$
\eqalign {
   p (98\leq L \leq 102) 
      &= p (98-100 \leq L-100 \leq 102-100)
\cr
      &= p (-2 \leq T \leq 2) = 2\Pi (2) - 1
\cr
      &= 2\times 0, 977\, 2 - 1 = 0, 954\, 4
}
$$
d'où $p \big( L \not \in [98; 102] \big) = 1 - 0, 954\, 4$, soit 
\dresultat {p \big( L \not \in [98; 102] \big) = 0, 045\, 6}.

\itemalph Il vient
$$
\eqalign {
   p (100-a \leq L \leq 100+a)  = 0, 9
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   p (100-a-100 \leq L-100 \leq 100+a-100) = 0,9
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   p (-a \leq T \leq a) = 0,9
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   2\Pi (a) - 1 = 0,9
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   \Pi (a) = 0,95
\cr
      {\rm d'où} \qquad 
   \dresultat {a = 1, 65}
      \qquad &{\rm et}\qquad
   \dresultat {p (98, 35\leq L\leq 101, 65) = 0, 9}
}
$$

\itemalphnum On considère l'épreuve qui consiste à piocher
   une plaque au hasard et à regarder si sa longueur convient ($p =
   0, 97$) ou non ($p=0, 03$). Cette épreuve n'a que {\bf 2 issues
   possibles}, et on considère que les {\bf $N$ épreuves
   successives sont indépendantes}. La variable $X$ compte le
   nombre de plaques de longueur incorrecte. Donc \tresultat {$X$ suit
   une loi binomiale ${\cal B} (N; 0,03 )$}

\itemalph $N = 5$, donc $X$ suit une loi binomiale ${\cal B} (5; 0,03
   )$, d'où
$$
   p (X= 2) = C_5^2 \times 0, 03^2 \times 0, 97^3,
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (X=2) = 0, 008}
$$

\itemalph $N = 100$, donc $X$ suit une loi binomiale ${\cal B} (100;
      0,03)$, et l'espérance mathématique de cette variable est
      $E (X) = 100 \times 0, 03 = 3$. On peut donc approcher la loi
      binomiale par une \tresultat {loi de Poisson de paramètre
      $3$}. Il vient  alors, par lecture de la table, \dresultat {p (X
      = 8) = 0, 008} et
$$\displaylines {
   p (X>2) = 1 - \big( p (x= 0) + p (X=1) + p (X=2)\big)
      = 1 - (0, 050+0, 149+0, 224)
\cr
   {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X>2) = 0, 577}
}
$$

\itemalphnum On récapitule la situation pour une journée dans un
tableau en notant $A$ l'événement \og \sl provient de la machine
$A$\fg , et $C$ l'événement \og \sl est de longueur non
conforme\fg . Comme $0, 03 \times 500 = 15$ et $0, 09 \times 1\, 000 =
90$, on obtient le tableau suivant~:
$$
\vcenter{\halign{
   \offinterlineskip
   % preamble
      #\tv && \cc{#}& #\tv
   \cr
   \noalign{\hrule}
      &&& $A$&& $\overline{A}$&& Total&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & $C$&& $485$&& $910$&& $1\, 395$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & $\overline{C}$&& $\bf 15$&& $\bf 90$&& $105$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & Total&& $\bf 500$&& $\bf 1\, 000$&& $1\, 500$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}
$$
Il est alors clair que $\displaystyle {p \big(\overline C\big) = {105\over 1\,
500}}$, soit \dresultat {p \big(\overline C\big) = 0, 07}.

\itemalph On refait un tableau avec les nouvelles données, en
nommant $n$ le nombres de plaques coupées par la machine $B$~:
$$
\vcenter{\halign{
   \offinterlineskip
   % preamble
      #\tv && \cc{#}& #\tv
   \cr
   \noalign{\hrule}
      &&& $A$&& $\overline{A}$&& Total&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & $C$&& $485$&& $0, 91n$&& $485 + 0, 91n$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & $\overline{C}$&& $\bf 15$&& $\bf 0, 09\times n$&& $15 + 0, 09n$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & Total&& $\bf 500$&& $\bf n$&& $500 + n$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}
$$
En reprenant le calcul comme à la question précédente, il
vient
$$
\eqalign {
   p \big(\overline C\big) \leq 0, 05
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   {15 + 0, 09n \over 500 + n} \leq 0, 05
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   15 + 0, 09n  \leq 0, 05 (500 + n)
\cr
      &\Longleftrightarrow \quad
   15 + 0, 09n  \leq 25 + 0, 05n
      \quad\Longleftrightarrow \quad
   0, 04n  \leq 10 
      \quad\Longleftrightarrow \quad
   \dresultat {n  \leq 250}
\cr
}
$$



\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 15 janvier 2007 (0.08s - 3819134 - 1 décembre 2008)