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\exo{Recherche de développement limité -- emploi pour l'étude locale
d'une fonction}
\let \partie \centerpartie
Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec
\jmath\,)$ où les unité sont 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur
l'axe des ordonnées.
Soit $f$ la fonction définie sur $-1, +\infty[$ par
$$
f (x) = \left( {x^2 \over 4} - 1 \right) e^{2x}
$$
et $\cal C$ sa coujrbe représentative dans le repère $(O, \vec \imath,
\vec \jmath\,)$.
\itemnum \'Etablir le tableau de variation de $f$.
\itemitemalphnum Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre 2 au
voisinage de 0.
\itemitemalph En déduire une équation de la tangente $T$ à $\cal C$ au
point $A$ d'abscisse 0~; puis étudier la position de $\cal C$ par
rapport à $T$ au voisinage du point $A$.
\itemnum Représenter la courbe $\cal C$ et la tangente $T$ dans le
repère $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$.
%\partie{B}
On se propose de calculer la valeur exacte, en $\cm^2$, de l'aire
$\cal A$ de la partie du plan limité par $\cal C$, l'axe des
abscisses et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=2$.
\itemnum Calculer l'intégrale
$$
\int_0^2 f (x) \, dx.
$$
On pourra au préalable déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la
fonction $F$ définie sur $[-1, +\infty [$ par
$$
F (x) = \big( ax^2 + bx + c \big) e^{2x}
$$
soit une primitive de la fonction $f$.
\itemnum Donner la valeur exacte de $\cal A$.
\itemnum Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $\cal A$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824219 - 3 décembre 2008)
