Source de cour_008.tex
\paragraphe {Les principaux théorèmes}
Comme dans le cas des équations du premier ordre, on est sûr de
l'existence de solutions~:
\assert Théorème existence et unicité de la solution.
Toute équation différentielle linéaire du second ordre $(E)$ admet une
solution, et cette solution est unique si on lui impose en plus de
vérifier deux conditions initiales données.
\endassert
Ensuite le théorème qui permet de procéder de façon analogue au
premier ordre en décomposant la recherche des
solutions en 2~étapes~: recherche d'une solution particulière de $(E)$
et recherche de la solution générale de l'équation homogène associée $(E_0)$.
\assert Théorème résolution d'une équation différentielle linéaire
d'ordre 2.
La solution générale de l'équation
$$
a y'' + b y' + c y = d (x).
\leqno
\hbox {\hskip \itemindent \hskip \itemindent (E)}
$$
est obtenue en ajoutant une solution particulière de $(E)$ à la
solution générale de l'équation sans second membre $(E_0)$ associée.
\endassert
Pour résoudre une équation différentielle de ce type, et de façon tout
à fait analogue aux équations linéaires d'ordre~1, on procédera
donc en trois étapes~:
\item{$\bullet$} résolution de l'équation sans second membre associée $(E_0)$;
\item{$\bullet$} détermination d'une solution particulière de
l'équation $(E)$;
\item{$\bullet$} conclusion~: la solution générale de $(E)$, c'est la
solution générale de $(E_0)$ $+$ une solution particulière de $(E)$.
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.07s - 3824116 - 3 décembre 2008)
