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\paragraphe {Résolution de l'équation sans second membre}

On admettra le théorème suivant~:

\assert Théorème Résolution de l'équation linéaire homogène du second ordre.

On considère l'équation
$$
  a y'' + b y' + c y = 0.
\leqno
   \hbox {\hskip \itemindent \hskip \itemindent } (E_0)
$$
et son équation caractéristique associée $ar^2 + br + c = 0$. Le
tableau ci-dessous donne les solutions de $(E_0)$ en fonction du
discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$~:

\everymath = {\displaystyle }

$$
   \vcenter{\halign{
   % preamble
      & \cc{#} & #\tv 
   \cr
      && Solutions de l'équation caractéristique associée&& 
      Solution générale de $(E_0)$
   \cr
   \noalign{\hrule }
      $\Delta = 0$&&
      une racine double $r = -{b \over 2a} \in \rset$&&
      $\vcenter{
         \smallskip
         \hbox{\qquad $y (x) = (Ax + B) e^{rx}$}
         \hbox{où $A$ et $B$ sont des réels arbitraires.}
         \smallskip
      }$
   \cr
   \noalign{\hrule }
      $\Delta > 0$&&
      $\vcenter{
         \smallskip
         \hbox{\qquad \qquad \qquad 2~racines réelles}
         \smallskip
         \hbox{$r_1 = {-b - \sqrt{\Delta} \over 2a}$ \quad et \quad
            $r_2 = {-b + \sqrt{\Delta} \over 2a}$}
         \smallskip
      }$&&
      $\vcenter{
         \smallskip
         \hbox{\qquad $y (x) = A e^{r_1 x} + B e^{r_2 x}$}
         \hbox{où $A$ et $B$ sont des réels arbitraires.}
         \smallskip
      }$
   \cr
   \noalign{\hrule }
      $\Delta < 0$&&
      $\vcenter{
         \smallskip
         \hbox{\quad \qquad 2~racines complexes conjuguées}
         \hbox{\qquad \qquad $\alpha + i \beta$ \quad et \quad $\alpha
   - i \beta$} 
         \hbox {\qquad \qquad où $\alpha = {-b\over 2a}$ et $\beta = {\sqrt
   {-\Delta }\over 2a}$\qquad \qquad }
         \smallskip
      }$&&
      $\vcenter{
         \smallskip
         \hbox{\qquad $y (x) = e^{\alpha x} (A \cos \beta x + B \sin
   \beta x)$}
         \hbox{où $A$ et $B$ sont des réels arbitraires.}
         \smallskip
      }$
   \cr
}}
$$

\endassert
— Syracuse — Dernière modification : 3 janvier 2003 (0.07s - 3824197 - 3 décembre 2008)