Source de equ1_033.tex
\exo {Décharge d'un condensateur, {\sl bts mai, session 1992}}
(Les unités de mesure utilisées sont les unités du système SI.)
Un condensateur de capacité $C$ est chargé sous une tension initiale
de $20$~volts. Il se décharge ensuite dans un résistor de résistance
$R$; on note $a = RC$. La tension aux bornes du condensateur est une
fonction $V$ du temps $t$ définie sur $[0; +\infty [$.
$V$ est solution de l'équation différentielle $(E)$~:
$$
{\cal V}' + {1\over a} {\cal V} (t) = 0.
$$
\itemitemalphnum Déterminer toutes les fonctions solutions de
l'équation différentielle $(E)$.
\itemitemalph On rappelle que pour $t = 0$, on a $V (0) =
20$. Déterminer l'expression de $V$.
\itemnum Dans cette question, on suppose que $R = 1\, 000$ et $C =
10^{-4}$.
\itemitemalph Montrer que l'on a alors $V (t) = 10 e^{- 10t}$.
\itemitemalph \' Etudier les variations de la fonction $V$.
\itemitemalph Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles on a $V
(t) \geq 0, 02$.
\itemitemalph L'intensité traversant le circuit est une fonction $I$
du temps; on a $I (t) = CV' (t)$. Déterminer $I (t)$.
\itemitemalph Calculer l'énergie $W$ dissipée dans le résistor entre
les instants $t = 0$ et $t = 0, 69$ sachant que
$$
W = \int _0^{0, 69} R I^2 (t) \, {\rm d}t.
$$
\itemnum Dans cette question, la tension aux bornes du condensateur
étant définie par
$$
V (t) = 20 e^{-t/a},
$$
on note $C_a$ la courbe représwentative de $V$ dans un repère
orthogonal avec les unités traphiques suivantes~:
\itemitem {} $5\cm $ sur l'axe des abscisses pour représenter $0,
1$~seconde;
\itemitem {} $0, 5\cm $ sur l'axe des ordonnées pour représenter
$1$~volt.
\itemitemalph Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe
$C_a$ au point d'abscisse~$0$.
\itemitem {} Soit $M$ le point d'intersection de $T$ avec l'axe des
abscisses. Déterminer l'abscisse de $M$.
\itemitemalph Pour un certain dipole on a tracé la courbe
représentative $C_a$ ainsi que sa tangente au point d'abscisse~$0$ sur
le graphique suivant~:
\def \epspath{%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}
$$
\epsillustrate {equ1_033.ps}
$$
Déduire de ce graphique la valeur correspondante de $a$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3824092 - 3 décembre 2008)
