Source de equ2_006.tex
\exo{Une suspension de voiture}
\let \partie \centerpartie
\partie{A}
La suspension d'une voiture est schématisée par un ressort
vertical de force de rappel $k = 1, 36 \times 10^4$~Nm$^{-1}$.
La masse $m$ de la voiture est de $800$~kg.
On démontre en mécanique que l'équation du mouvement vertical de cette
voiture est de la forme~:
$$
y'' + {b \over m} y' + {k \over m} y = 0
$$
où $y$ désigne l'amplitude de l'oscillation en fonction du temps $t$,
$b$ étant une constante qui peut être choisie égale à~$1\, 600$.
\itemnum Résoudre cette équation différentielle.
\itemnum Déterminer la solution particulière telle qu'à l'instant $t
=0$, les conditions suivantes soient vérifiées~:
$$
\cases{
y (0) = 1
\cr
y' (0) = -1.
\cr}
$$
\partie{B} On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $t$,
définie sur $[0, \pi]$ par~: \quad $f (t) = e^{-t} \cos 4t$ .
\def \epspath{%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}
\epsfxsize = 80mm
La courbe $\Gamma$ de $f$ est donnée sur la figure ci-dessous
$$
\superboxepsillustrate{equ2_006.ps}
$$
On appelle $C_1$ et $C_2$ les courbes représentatives des fonctions
$f_1$ et $f_2$ définies sur $[0, \pi]$ par~:
$$
f_1 (t) = -e^{-t}
\qquad {\rm et} \qquad
f_2 (t) = e^{-t}.
$$
\itemitemalphnum Montrer que, pour tout réel $t$ de $[0, \pi]$, on a~:
$$
-e^{-t} \leq f (t) \leq e^{-t}.
$$
\itemitemalph En déduire les positions relatives de $\Gamma$, $C_1$ et
$C_2$.
\itemitemalphnum Calculer les {\sl abscisses\/} des points $A$ et $B$
communs à $\Gamma$ et $C_1$.
\itemitemalph Calculer les {\sl abscisses\/} des points $C$, $D$ et $E$
communs à $\Gamma$ et $C_2$.
\itemitemalph Calculer le coefficient directeur de la tangente à
$\Gamma$ en son point d'abscisse~$0$, ainsi que celui de la tangente à
$C_2$'en son point d'abscisse~$0$. Que peut-on en conclure~?
\itemitemalphnum \'Etudier sur $[0, \pi]$ les variations des fonctions
$f_1$ et $f_2$.
\itemitemalph Tracer sur un même graphique~:
\itemitem{} $\bullet$ la courbe représentative de la fonction $f$,
\itemitem{} $\bullet$ les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, ainsi que la
tangente à $\Gamma$ en son point d'abscisse~$0$,
\itemitem{} $\bullet$ les courbes $C_1$ et $C_2$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3824044 - 3 décembre 2008)
