Source de equ2_007.tex
\exo{Estampage}
\let \partie \doublecenterpartie
\bigskip
{\narrower \narrower \sl
Dans une large mesure, les parties {\bf A.}, {\bf B.} et {\bf C.}
peuvent être traitées de façon indépendante.
\par }
\bigskip
On veut fabriquer, par estampage, une pièce métallique. Le patron de
cette pièce est limité par un domaine plan obtenu à partir de la
représentation graphique d'une fonction numérique solution d'une
équation différentielle.
\partie{A.}{Résolution d'une équation différentielle}
On considère l'équation différentielle
$$
y'' + 2 y' + y = 1
\leqno
(E)
$$
où $y$ désigne une fonction de la variable $x$, définie et deux fois
dérivable sur $[0, +\infty[$.
\itemnum Démontrer que la fonction $g$ définie sur $[0, +\infty[$ par
$g (x) = 1$ est une solution de $(E)$.
\itemnum Résoudre l'équation différentielle
$$
y'' + 2 y' + y = 0
\leqno
(E_0)
$$
\itemnum Déduire des questions précédentes la résolution de l'équation
$(E)$.
\itemnum Déterminer la solution particulière de l'équation $(E)$ qui
vérifie
$$
f (0) = 1
\qquad {\rm et} \qquad
f' (0) = 3.
$$
\partie{B.}{\'Etude d'une fonction numérique}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par
$$
f (x) = 3x e^{-x} + 1.
$$
On note $C_f$la courbe représqentative de la fonction $f$ dans le
plazn muni d'un repère orthogonal $(O, \vec \imath, \vec \jmath)$
(unité graphique~: 4~cm).
\itemnum Déterminer la limite de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers
$+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat.
\itemitemalphnum Déterminer la fonction $f'$, dérivée de la fonction
$f$.
\itemitemalph \'Etudier le signe de $f'$. En déduire le tableau de
variation de $f$.
\itemnum Soit $A$, le point de $C_f$ d'abscisse~$0$. Déterminer une
équation de $T$, la tangente à la courbe $C_f$ en $A$.
\itemnum Tracer la droite $T$ et la partie de la courbe correspondant
à l'intervalle $[0, 4]$.
\partie{C.}{Détermination de l'aire du domaine plan utile à la
fabrication de la pièce}
\itemnum On pose
$$
I = \int_0^4 3x e^{-x} \, dx .
$$
Montrer, en utilisant une intégration par parties, que $I = 15 e^{-4}
+ 3$.
\itemitemalphnum Calculer
$$
J = \int_0^4 f (x) \, dx.
$$
\itemitemalph En déduire une valeur décimale approchée à $10^{-2}$
près par défaut de l'aire $\cal A$, exprimée en~cm$^2$, du domaine
plan limité par les axes de coordonnées, la courbe $C_f$ et la droite
d'équation $x = 4$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.06s - 3824093 - 3 décembre 2008)
