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\exo{\'Equation différentielle du second ordre avec un polynôme}

\let \partie \centerpartie

\partie{A}

On considère l'équation différentielle
$$
   y'' (x) + 3 y' (x) + 2 y (x) = 2x - 5
\leqno 
   (E)
$$
où $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable de la variable
$x$.

\itemnum Résoudre l'équation différentielle
$$
   y'' (x) + 3 y' (x) + 2 y (x) = 0
\leqno 
   (E_0)
$$

\itemitemalphnum Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction
$x \mapsto ax + b$, notée $g$, soit une solution de $(E)$.

\itemitemalph En déduire la solution générale de $(E)$.

\itemnum Déterminer la fonction $f$ solution de $(E)$ qui vérifie les
conditions initiales
$$
   f (0) = - {13 \over4} 
      \qquad {\rm et } \qquad
   f' (0) = 0.
$$

\partie{B}

Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\rset$ des nombres réels
par
$$
   f (x) = x - 4 + {1\over4} e^{-2x} + {1\over2} e^{-x}.
$$

On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un
repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\/)$ d'unité graphique
2~cm.

\itemitemalphnum Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

\itemitemalph En remarquant que
$$
   f (x) = e^{-x} \left( xe^x - 4 e^x + {1\over4} e^{-x} + {1\over2} \right)
$$
déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

\itemitemalphnum Calculer $f' (x)$ puis $f'' (x)$.

\itemitemalph Montrer que, pour tout $x$ réel, $f'' (x) > 0$. En
déduire le sens de variations de $f'$.

\itemitemalph En remarquant que $f' (0) = 0$, déterminer le signe de
$f' (x)$ suivant les valeurs du réel $x$.

\itemitemalph Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

\itemnum Calculer
$\displaystyle{
   \lim_{x \rightarrow +\infty} \big( f (x) - (x-4) \big)
}$ et montrer que pour tout $x$ réel, l'expression $f (x) -
   (x-4)$ conserve un signe constant.

\item{} Interpréter graphiquement les résultats de cette question.

\itemnum Tracer la droite $D$ d'équation $y = x-4$ ainsi que la courbe
   $C_f$.

\finexo

\corrige{}

\partie{A}

\itemnum L'équation caractéristique de $(E_0)$ est $r^2 + 3r + 2 = 0$,
et elle possède deux racines réelles $r_1 = -1$ et $r_2 = -2$. on en
déduit que les solutions de $(E_0)$ sont toutes les fonctions $y$ ayant
une écriture du type \mresultat{y = A e^{-x} + B e^{-2x}} où $A$ et
$B$ désignent des constantes réelles quelconques.

\itemalphnum Si $y = ax + b$, alors $y'= a$ et $y'' = 0$. On aura donc
$y'' + 3y' + 2y = 2ax + (3a + 2b)$. Pour que $y$ soit une solution de $(E)$,
il faut donc que soit vérifié le système
$$
   \cases{
      2 a = 2
   \cr
      3a + 2b = -5
   \cr}
      \qquad \Longrightarrow \qquad
   \cases{
      a = 1
   \cr
      b = -4
   \cr}
      \qquad \hbox{d'où la solution particulière} \qquad
   \mresultat{y = x-4}.
$$

\itemalph La solution générale de $(E)$ est alors donnée par
\mresultat{y = x-4 + A e^{-x} + B e^{-2x}} où $A$ et
$B$ désignent des constantes réelles quelconques.

\itemnum Si $f$ est une solution de $(E)$, alors elle possède une
écriture comme celle donnée à la question précédente, et on a
$f (0) = A + B - 4$, et $f' (0) = 1 - A - 2B$
En utilisant les conditions initiales, on trouve \mresultat{A = 1/2}
et \mresultat{B = 1/4}, doù la solution cherchée~:
$$
   \dresultat{f (x) = x - 4 + {1\over4} e^{-2x} + {1\over2} e^{-x}}
$$

\partie{B}

\itemalphnum Comme $\lim_{+\infty} e^{-x} = \lim_{+\infty} e^{-2x} = 0$,
on a facilement \dresultat{\lim_{x \rightarrow +\infty} f (x) = +\infty}.

\itemalph Comme $\lim_{-\infty} xe^{x} = \lim_{-\infty} e^{x} = 0$ (cf
formulaire), et que  $\lim_{-\infty} e^{-x} = +\infty$, on a, par
produit de limites et en utilisant la deuxième écriture de $f$,
\dresultat{\lim_{x \rightarrow -\infty} f (x) = +\infty}.

\itemalphnum On a \dresultat{f' (x) = 1 - {1\over2} e^{-2x} -
{1\over2} e^{-x}} et \dresultat{f'' (x) = e^{-2x} + {1\over2} e^x}.

\itemalph Comme l'exponentielle est toujours positive, on a $e^{-2x} >
0$ pour tout réel $x$, et $e^x > 0$ pour tout réel $x$. $f'' (x)$
étant la somme de deux nombres strictement positifs, on en déduit que
\mresultat{\forall x \in \rset, f'' (x) > 0}, donc \tresultat{$f'$ est
strictement croissante sur $\rset$}.

\itemalph Vu la croissance stricte de $f'$, et comme $f' (0) = 0$, on
en déduit que \tresultat{$f' (x) > 0$ pour $x>0$} et que \tresultat{$f'
(x) < 0$ pour $x<0$}.

\itemalph On obtient donc finalement le tableau de variation suivant
pour $f$~:
$$
\vcenter{\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \vrule depth 5pt & $-\infty$&& $0$&& $+\infty$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $-$& $0$& $+$
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& \bbuup{$+\infty$}&
         \bbrightddownarrow & \down{$-{13\over4}$}& \bbrightuuparrow
         & \bbuup{$+\infty$}& 
   \cr
}}
$$

\itemnum On a $f (x) - (x-4) = {1\over4} e^{-2x} + {1\over2} e^{-x}$,
   donc \dresultat{\lim_{x \rightarrow +\infty} (f (x) - (x-4)) = 0}
   puisque $\lim_{+\infty} e^{-2x} = \lim_{+\infty} e^{-x} = 0$. De
   plus, $e^{-x}$ et $e^{-2x}$ étant deux nombres strictement
   positifs, leur somme sera un nombre strictement positif. D'où
   \mresultat{\forall x \in \rset, f (x) - (x-4) > 0}. Graphiquement,
   cela signifie que, si on note $D$ la droite d'équation $y = x-4$,
   alors \tresultat{$D$ est asymptote à $C_f$ en $+\infty$} et
   \tresultat{$C_f$ toujours au-dessus de $D$}.


\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}

\epsfxsize = 80mm

\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate{equ2_009.ps}
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3824028 - 3 décembre 2008)