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$Fichier TeX$
\exo {Flambement d'une poutre}

On se propose d'étudier la déformation élastique par flambement d'une
poutre arquée. On soumet cette poutre à une force longitudinale
d'intensité $F$. On montre que la déformation élastique $d$ qu'elle
subit alors est la solution particulière nulle pour $x=0$  et $x=1$ de
l'équation différentielle
$$
   y'' + \omega ^2 y = - \omega ^2 \sin (\pi x)
\leqno
   (E)
$$
dans laquelle $y$ désigne une fonction numérique définie sur
l'intervalle $[0, 1]$, admettant des dérivées première et seconde sur
cet intervalle et $\omega $ est un nombre réel de l'intervalle $]0,
\pi [$ dépendant de $F$.

\remarque
La phrase précédente signifie en particulier que~:

\qquad \qquad {--} $d$ est solution de $(E)$

\qquad \qquad {--} on a $d (0) = 0$ et $d (1) = 0$.

\finremarque


\itemitemalphnum Donner la solution générale de l'équation sans second
membre 
$$
   y'' + \omega ^2 y = 0.
\leqno
   (E_0)
$$
\itemitemalph Déterminer le réel $k$ tel que la fonction qui à $x$
fait correspondre $k \sin (\pi x)$ soit solution de l'équation $(E)$.

\itemitemalph En déduire la solution générale de l'équation $(E)$.

\itemnum Exprimer la déformation élastique $d$ en fonction de $\omega
$ et de $x$.

\itemitemalphnum Montrer que la dérormation est maximale pour $x =
1/2$.

\itemitemalph Exprimer ce maximum en fonction de $\omega $.

\itemitemalph Interpréter physiquement la situation lorsque $\omega $
prend des valeurs proches de $\pi $.

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est $r^2 +
\omega ^2 = 0$. Cette dernière équation admet les deux racines
complexes conjuguées $r = \pm \omega i$. On en déduit la solution
générale de $(E_0)$~:
$$\dresultat {
   y = A \sin (\omega x) + B \cos (\omega x)
      \qquad \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}
}$$

\itemalph Si $f (x) = k \sin (\pi x)$, alors $f' (x) = k \pi
\cos (\pi x)$ et $f'' (x) = -k \pi ^2 \sin (\pi x)$. En reportant dans
le premier membre de l'équation $(E)$~:
$$
   y'' + \omega ^2 y = - \omega ^2 \sin (\pi x),
\leqno
   (E)
$$
il vient alors
$$
   f'' + \omega ^2 f = - k \pi ^2 \sin (\pi x) + \omega ^2 k \sin (\pi x) 
      \qquad {\rm soit}  \qquad
   f'' + \omega ^2 f = k (\omega ^2 - \pi ^2) \sin (\pi x).
$$
Pour avoir $f$ solution particulière de $(E)$, il faut donc avoir
$$
   k (\omega ^2 - \pi ^2) = \omega ^2
      \qquad {\rm soit}  \qquad
   \dresultat {k = {- \omega ^2 \over \omega ^2 - \pi ^2}}
      \qquad {\rm soit}  \qquad
   \dresultat {f (x) = {\omega ^2 \sin (\pi x)\over \pi ^2 - \omega ^2}}
$$

\itemalph La solution générale de $(E)$ est obtenue en additionnant
      une solution particulière et la solution générale de l'équation
      sans second membre. Ici cela donne~:
$$\dresultat {
   y (x) = {\omega ^2 \sin (\pi x)\over \pi ^2 - \omega ^2} + A \sin (\omega x) + B \cos (\omega x)
      \qquad {\rm où} \qquad
   A, B \in \rset 
}$$

\itemnum Sachant que $d$ s'écrit comme une solution de $(E)$ avec $d
(0) = 0$ et $d (1) = 0$, et comme 
$$
   d (0) = B
      \qquad {\rm et} \qquad
   d (1) = A \sin \omega + B \cos \omega
$$
il vient \dresultat {B = 0} puis \dresultat {A = 0} (car $\sin \omega
\neq 0$ puisque $\omega \in ]0, \pi [$), soit finalement
$$
   \dresultat {d (x) = {\omega ^2 \sin (\pi x)\over \pi ^2 - \omega ^2}}.
$$

\itemnum Dans ce cas la dérivée $d'$ est 
$$
   d' (x) = {\pi \omega ^2 \over \pi ^2 - \omega ^2} \cos (\pi x),
$$
et elle est du signe de $\cos (\pi x)$ car $\pi ^2-\omega ^2$ est
positif (puisque l'on a, je le rappelle, $0 < \omega < \pi $).
On en déduit le tableau de variations de $d$, en remarquant que si $x
\in [0, 1]$, alors $X = \pi x \in [0, \pi ]$, et $\cos X$ s'annule
pour $X = \pi /2$~:
$$
\vcenter {\eightpoint \rm
   \def \hfq {\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \vrule depth 5pt & 
      $0$&& $1/2$&& $1$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $d' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt 
      && $-$& $0$& $+$
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \bbuucenter {$d (x)$}& \vrule & \down {$0$}&
         \bbrightuuparrow & \bbuup {$\displaystyle {\omega ^2\over \pi ^2 - \omega ^2}$}& \bbrightddownarrow
         & \down {$0$}& 
   \cr
}}
$$
On a donc bien une \tresultat {déformation maximale pour $x=1/2$}, et
ce maximum est \dresultat {{\omega ^2\over \pi ^2 - \omega ^2}}.

\item {} Si $\omega $ prend des valeurs proches de $\pi $, le terme
$\pi ^2 - \omega ^2$ va prendre des valeurs proches de~$0$, et le
maximum de déformation va tendre vers l'infini, amenant sans aucun
doute la rupture de la pièce considérée.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 12 mai 2002 (0.08s - 3778020 - 20 novembre 2008)