Source de equ2

$Fichier TeX$
\exo {\' Equation différentielle linéaire du second ordre}

En électronique, l'étude d'un circuit conduit à l'équation
différentielle
$$
   x'' + 2x' + 2x = 0
\leqno 
   (E)
$$
dans laquelle $x$ désigne une fonction numérique de la variable $t$,
admettant des dérivées première et seconde notées respectivement $x'$
et $x''$.

\itemnum Résoudre cette équation sur $\rset $.

\itemnum Déterminer la solution particulière de cette équation prenant
la valeur 0 pour $t=0$ et dont la dérivée prend la valeur $1$ pour
$t=0$.

\itemnum Soit $f$ la fonction numérique telle que, pour tout élément
$t$ de l'intervalle $[0, 2\pi]$,
$$
   f (t) = e^{-t} \sin t.
$$

\itemitemalph Vérifier que, pour tout $t$ réel, on a 
$$
   \cos t - \sin t = \sqrt 2 \cos \left( t + {\pi \over 4}\right) .
$$

\itemitemalph \' Etudier les variations de $f$ sur $[0, 2\pi ]$ et
dresser son tableau de variation.

\itemitemalph Tracer $C_f$, la courbe représentative de la fonction
$f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal où l'unité vaut 2~cm
sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées.

\itemnum On se propose de calculer, en $\cm ^2$, une valeur
approchée par défaut à $1\mm ^2$ près de l'aire du domaine plan
délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées
et la droite verticale $x=\pi $.

\item {} \` A cette fin, deux méthodes sont proposées~:

\itemitemalph Calculer l'intégrale 
$$
   \int _0^\pi f (t) \, dt
$$
au moyen de deux intégrations par parties successives.

\itemitemalph En utilisant l'équation différentielle $(E)$ écrite sous
la forme
$$
   x = - {1\over 2} (x'' + 2x'),
$$
déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[O, \pi]$.

\itemitem {} En déduire l'expression de $\displaystyle \int _0^\pi f
(t)\, dt$ à l'aide de $F$.

\itemitemalph Déterminer une valeur approchée de l'aire considérée à
$1\mm ^2$ près par défaut.

\finexo

\corrige {}

\itemnum L'équation caractéristique associée à $(E)$ est $r^2 + 2r + 2
= 0$, de discriminant $\Delta = -4 = (2i)^2$, et de racines $r = -1\pm
i$. On en déduit la solution générale de $(E)$~: \dresultat {y (t) =
e^{-t} (A\cos t + B \sin t)} où $A$ et $B$ sont des constantes réelles
arbitraires.

\itemnum La condition initiale $y (0) = 0$ entraîne immédiatement que
$A = 0$. Et comme 
$$
   y' (t) = -e^{-t} \big( (B-A)\cos t - (B+A) \sin t\big) 
$$
la condition $y' (0) = 1$ entraîne que $B = 1$. La solution
particulière de $(E)$ vérifiant les conditions initiales est donc la
fonction $f$ définie par \dresultat {f (t) = e^{-t}\sin t}.

\itemalphnum En développant le cosinus avec la formule $\cos (a+b) =
\cos \cos b - \sin a\sin b$, on obtient immédiatement la relation
demandée.

\itemalph $\bullet $ On trouve 
$$
   \dresultat {f' (t) = e^{-t} (\cos t - \sin t) = \sqrt 2 e^{-t} \cos
\left( t + {\pi \over 4}\right)}
$$
Cette dérivée est évidemment du signe de $\cos ( t + {\pi \over 4})$ puisque
l'exponentielle est toujours positive.

\item {} $\bullet $ Cherchons les zéros de la dérivée. On a
$$
   f' (t) = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cos \left( t + {\pi \over 4}\right) = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   t + {\pi \over 4} = {\pi \over 2} \pmod \pi
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \dresultat {t = {\pi \over 4} \pmod \pi}
$$
Sur l'intervalle $[0, 2\pi]$, la dérivée $f'$ s'annule donc 2~fois~:
en $\pi /4$ et en $5\pi /4$. On vérifie alors facilement que $f' (0)$
et $f' (2\pi)$ sont positifs, alors que $f' (\pi /2)$ est négatif.

\item {} $\bullet $ D'où le tableau de variation de $f$ sur $[0, 2\pi
]$~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      t&& 0&& \pi /4&& 5\pi /4&& 2\pi &
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      f' (t)&& &+& 0&-& 0&+& &
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (t)$}&& \down {0}&
      \brightuuparrow & \buup {${\sqrt 2\over 2}e^{-\pi /4}$}&
      \brightddownarrow & \down{$-{\sqrt 2\over 2}e^{-5\pi /4}$}& 
      \brightuuparrow & \buup {0}
   \cr
}}
}$$

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}

\itemalph
$$
   \superboxepsillustrate {equ2_021.ps}
$$

\itemalphnum
$$\eqalign {
   K &= \int _0^\pi e^{-t} \sin t \, dt.
      \qquad \hbox {de la forme} \qquad
   \int U' V
      \quad {\rm avec} \quad
   \cases {
      U' = e^{-t} &\quad $U = -e^{-t}$
   \cr
      V = \sin t &\quad $V' = \cos t$
   \cr }
\cr
   &= \underbrace {\Big[ - e^{-t}\sin t\Big] _0^\pi}_{0} + \int _0^\pi e^{-t}\cos t \, dt
\cr
   &= \int _0^\pi e^{-t} \cos t \, dt
      \qquad \hbox {de la forme} \qquad
   \int U' V
      \quad {\rm avec} \quad
   \cases {
      U' = e^{-t} &\quad $U = -e^{-t}$
   \cr
      V = \cos t &\quad $V' = -\sin t$
   \cr }
\cr
   &= \Big[ - e^{-t}\cos t\Big] _0^\pi - \underbrace {\int _0^\pi
   e^{-t}\sin t \, dt}_{K}
   = e^{-\pi} + 1 - K
\cr
}$$
On en déduit que $2K = 1 + e^{-\pi }$, et donc que \dresultat {K =
{1\over 2} (1+e^{-\pi })}.

\itemalph Sachant que la fonction $f$ est solution de $(E)$, on en
déduit qu'elle vérifie la relation
$$
   f = - {1\over 2} (f'' + 2f').
$$
Une primitive $F$ de $f$ vérifiera alors la relation
$$
   F = - {1\over 2} (f' + 2f).
$$
On en conclut que la fonction $F$ définie par 
$$
   F (t) = - {1\over 2} e^{-t} (\cos t - \sin t + 2\sin t),
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {F (t) = - {1\over 2} e^{-t} (\cos t +\sin t)}
$$
est une primitive de la fonction $f$.

\item {} Il vient alors $K = F (\pi ) - F (0)$, soit \dresultat {K =
{1\over 2} (1+e^{-\pi })}.

\itemalph L'unité d'aire étant de $10\cm \times 2\cm = 20\cm ^2$, on
trouve que l'aire cherchée fait environ $10, 43\cm ^2$, soit environ
\dresultat {1\, 043\mm ^2} à $1\mm ^2$~ près par défaut.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3824113 - 3 décembre 2008)