Source de equ2

$Fichier TeX$
\exo {Une équation différentielle linéaire d'ordre 2}

L'étude d'un système mécanique soumis à un amortissement et à une
excitation entretenue, conduit à la résolution de l'équation
différentielle suivante où l'inconnue $y$ est fonction du temps $t$,
définie et deux fois dérivable sur $[0, +\infty [$~:
$$
   y'' + 2y' + 2y = 10\cos 2t.
\leqno 
   (E)
$$

\itemnum Résoudre sur $[0, +\infty [$ l'équation différentielle
$$
   y'' + 2y' + 2y = 0.
\leqno 
   (E_0)
$$

\itemnum Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty [$ par 
$$
   f (t) = 2\sin 2t - \cos 2t
$$
est une solution particulière de $(E)$.

\itemnum Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0, +\infty [$.

\itemnum Déterminer la fonction $g$, solution de l'équation $(E)$
vérifiant les condtions initiales
$$
   g (0) = 0
      \qquad {\rm et} \qquad
   g' (0) = 2.
$$

\finexo

\corrige {}

\itemnum L'équation caractéristique associée à l'équation
      différentielle $(E_0)$ est $r^2 + 2r + 2 = 0$, équation admettant
      les 2~racines complexes conjuguées $z = -1\pm i$. D'où la
      solution générale de $(E_0)$~:
$$
   \tresultat {$y (t) = e^{-t} (A\cos t + B\sin t)$ \quad où $A$ et $B$ sont
   des constantes réelles arbitraires}
$$

\itemnum On a 
$$
   \dresultat {f' (t) = 4\cos 2t + 2\sin 2t} 
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {f'' (t) = -8\sin 2t + 4\cos2t}. 
$$
On vérifie lors facilement que $f''+2f'+2f = 10\cos 2t$, ce qui prouve
   que \tresultat {$f$ est solution particulière de $(E)$}.

\itemnum La solution générale de $(E)$ est donc 
$$
   \tresultat {$y (t) = 2\sin 2t - \cos 2t + e^{-t} (A\cos t + B\sin
   t)$ \quad où $A$ et $B$ sont des constantes réelles arbitraires}
$$

\itemnum Si maintenant $g$ est une solution de $(E)$, on aura
$$
   g' (t) = 4\cos 2t + 2\sin 2t + e^{-t} \big( (B-A)\cos t - (A+B)\sin
   t\big).
$$
Reste à écrire que $g$ répond aux conditions initiales pour obtenir
$$
   g (0) = -1+A = 0
      \qquad {\rm et} \qquad
   g' (0) = 4 + B - A = 2
$$
d'où l'on tire facilement $(A, B) = (1, -1)$. D'où la solution
cherchée~: \dresultat {g (t) = 2\sin 2t - \cos 2t + e^{-t} (\cos t
-\sin t)}

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824088 - 3 décembre 2008)