Source de equ2

$Fichier TeX$
\exo {Une équation différentielle d'ordre 2}

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}

On considère l'équation différentielle
$$
   y'' - 2y' + y = x
\leqno 
   (E)
$$
où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux
fois dérivable sur $\rset $.

\itemnum Vérifier que la fonction numérique $g$ définie par $g (x) =
x+2$ est solution de l'équation $(E)$ sur l'ensemble $\rset $ des
nombres réels.

\itemitemalphnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle 
$$
   y'' - 2y' + y = 0.
\leqno 
   (E_0)
$$

\itemitemalph Déduire des questions précédentes la forme générale des
solutions de l'équation $(E)$.

\itemnum La figure ci-dessous donne la courbe représentative $C_f$
dans un repère orthonormal $(0, \vec \imath , \vec \jmath )$ de la
fonction $f$, solution de l'équation $(E)$, définie sur $\rset $ par
$$\displaylines {
   f (x) = x + 2 + (1-2x) e^x.
\cr
   \superboxepsillustrate {equ2_024.ps}
\cr
}$$

\itemitemalph Calculer, pour tout réel $x$, $f' (x)$ et vérifier que
$$
   f (0) = 3
      \qquad {\rm et} \qquad
   f' (0) = 0.
$$

\itemitemalph Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$
      au point d'abscisse $0$. 

\itemitemalph On note $A$ le point de la courbe $C_f$ dont l'abscisse
      $a$ vérifie $f'' (a) = 0$.

\itemitem {} Calculer $f'' (x)$ pour tout réel $x$ et en déduire les
coordonnées de $A$ (on donnera une valeur approchée de l'ordonnée à
$10^{-2}$ près).

\itemitemalph En utilisant le graphique, préciser sans calcul le sens
de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4; 1,
5]$. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f
(x) = 0$ sur cet intervalle (justifier).

\itemitemalph On note $\alpha $ l'unique solution positive de cette
équation. \` A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement à
$10^{-2}$~près de cette solution $\alpha $.

\finexo

\corrige {}

\itemnum Soit la fonction $g$ définie par $g (x) = x+2$. On a alors
$g' (x) =1$ et $g'' (x) = 0$. D'où
$$
   g'' - 2g' + g = 0 - 2 + x + 2 = x,
$$
ce qui prouve que \tresultat {la fonction $g$ est une solution
particulière de $(E)$}.

\itemalphnum L'équation caractéristique associée à l'équation sans
second membre $(E_0)$ est
$$
   r^2 - 2r + 1 = 0.
$$
Le calcul du discrimant nous donne $\Delta = 0$, donc l'équation
caractéristique admet la solution double $r = 1$.

\item {} On en déduit que la solution générale de l'équation sans second membre
$(E_0)$ est 
$$\dresultat {
   y_0 (x) = (Ax + B) e^{x}
      \qquad
   \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}.
}$$

\itemalph On en déduit que la solution générale de l'équation $(E_)$ est 
$$\dresultat {
   y_1 (x) = x+2 + (Ax + B) e^{x}
      \qquad
   \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}.
}$$

\itemalphnum Soit $f$ définie par
$$
   f (x) = x + 2 + (1-2x) e^x.
$$
On a alors $f' (x) = 1 + (1-2x-2)e^x$, soit \dresultat {f' (x) = 1 -
(1+2x)e^x}.
On a alors aucun mal à vérifier que \dresultat {f (0) = 3} et
\dresultat {f' (x) = 0}.

\itemalph On utilise la formule $y = f' (a) (x-a) + f (a)$ avec $a=0$,
pour trouver l'équation de la tangente cherchée~: \dresultat {y = 3}.

\itemalph On trouve \dresultat {f'' (x) = -(3+2x)e^x}. On en déduit que
$$
   f'' (x) = 0
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   x = -{3\over 2}
$$
puisque $e^x$ est toujours non nul. On trouve donc finalement
$$\dresultat {
   A \left( - {3\over 2}, {1\over 2} + 4 e^{-3/2}\right)
      \approx \left( - 1, 5; -0, 60\right)
}$$

\itemalph Sur le graphique, on relève le tableau de variations suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -4&& 0&& 1,5&
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \down {$\approx -1,8$}&
      \brightuuparrow & \buup {$3$}&
      \brightddownarrow & \down{$\approx -4$}
   \cr
}}
}$$
On en déduit que l'équation $f (x) = 0$ admet \tresultat {2 solutions
   sur l'intervalle $[-4; 1, 5]$} puisque de toute évidence, au vu du
   tableau de variations, la fonction $f$ change deux fois de signe sur
   cet intervalle (une fois sur $[-4; 0]$ et l'autre sur $[0; 1,5]$).

\itemalph Par dichotomie, on trouve \dresultat {1, 03 < \alpha < 1,
   04} puisque $f (1, 03)$ est positif alors que $f (1, 04)$ est négatif.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3777877 - 20 novembre 2008)