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\exo {Problème d'examen, {\sl Bts Mécanique et Automatismes
Industriels, 1997}}
\let \partie \centerpartie
\partie{A - résolution d'une équation différentielle}
On considère l'équation différentielle définie sur $\rset$ par
$$
y'' - 3y' + 2y = -4 e^{2x}
\leqno
(E)
$$
\itemnum Donner la forme générale des solutions de l'équation $(E')~:
\quad y'' - 3y' + 2y = 0$.
\itemnum Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $g$ définie sur
$\rset$ par $g (x) = ax e^{2x}$ soit solution de l'équation $(E)$.
\itemitemalphnum Déduire des questions précédentes la solution
générale de l'équation $(E)$.
\itemitemalph Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ dont la
courbe représentative passe par le point $S (0, 2)$ et admet en ce
point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\partie{B - étude d'une solution particulière de l'équation
différentielle $(E)$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\rset$ par
$$
f (x) = 2 e^{2x} (1-2x)
$$
On appelle $C$ la représentation graphique de $f$ dans un repère
orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$ d'unité graphique 2~cm.
\itemitemalphnum \'Etudier la limite de $f$ en $-\infty$.
\itemitemalph \'Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.
\itemitemalph En déduire que $C$ admet une asymptote (que
l'on précisera). Préciser la position de $C$ par rapport à cette
asymptote.
\itemnum \'Etudier les variations de $f$ sur $\rset$.
\itemnum Tracer la courbe $C$.
\itemnum \`A l'aide d'une intégration par parties, déterminer l'aire,
exprimée en $\cm^2$, du domaine limité par $C$, l'axe des abscisses et
les droites d'équations $x = -2$ et $x=0$. Donner la valeur de cette
aire, arrondie au mm$^2$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3778023 - 20 novembre 2008)
