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\exo {\' Etude d'une fonction exponentielle}

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ de $\rset $ par
$$
   f (x) = \big( 1-x^2\big) e^{x}.
$$

\itemitemalph Déterminer la limite de $f$ en $+\infty $ puis en
$-\infty $.

\itemitemalph \' Etudier les variations de $f$. Récapituler les
résultats dans un tableau.


\finexo

\corrige {}

\itemalph On a 
$$
   \lim _{x\to +\infty } \big( 1-x^2\big) e^{x} = \dresultat {-\infty
      = \lim _{x\to +\infty } f (x)}
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   \cases {
      \lim _{+\infty } \big( 1-x^2\big) = -\infty 
   \cr
      \lim _{+\infty } e^x = +\infty 
   \cr }
$$
et
$$
   \lim _{x\to -\infty } \big( 1-x^2\big) e^{x} 
      =    \lim _{x\to -\infty } e^x -x^2 e^{x} 
      = \dresultat {0
      = \lim _{x\to -\infty } f (x)}
      \qquad {\rm puisque} \qquad
   \cases {
      \lim _{-\infty } e^x = 0
   \cr
      \lim _{-\infty } x^2 e^x = 0 &(cf cours)
   \cr }
$$

\itemalph On trouve \dresultat {f' (x) = (-x^2-2x+1) e^x}, qui est du
      signe du polynôme $(-x^2 -2x +1)$ puisque $e^x$ est toujours
      positif. La méthode du discriminant $\Delta $ (ici égal à $8 =
      (2\sqrt 2)^2$) nous donne les 2~racines
$$
   x_1 = {-2-2\sqrt 2\over 2} = -1-\sqrt 2
      \qquad {\rm et} \qquad
   x_2 = -1+\sqrt 2
$$
et nous garantit que ce polynôme est positif entre ces racines (signe
de $-a$). On a ainsi le signe de la dérivée $f'$ puis le tableau de
variation de la fonction $f$.
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && -1-\sqrt 2&& -1+\sqrt 2&& +\infty 
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (x)&& &-& 0& +& 0& -
   \cr   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \buup {$0$}&
      \brightddownarrow & \down{$\approx -0, 43$}& 
      \brightuuparrow & \buup {$1, 25$}&
      \brightddownarrow & \down {$-\infty $}
   \cr
}}
}$$


\fincorrige

 

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