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\exo{Calcul de valeurs approchées d'une intégrale}

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1, 4[$. et l'intégrale $J$,
définies respectivement par
$$
   f (x) = 2 \ln {4 (x+1) \over 4 - x}
      \qquad {\rm et} \qquad
   J = \int_0^2 f (x) \, dx .
$$
Le but de ce problème est de calculer l'intégrale $J$ (partie A), puis 
de calculer des valeurs approchées de $J$ en remplaçant $f$ par des
fonctions plus faciles à intégrer (parties B et C). Dans chacun des cas,
on évaluera l'erreur relative.

%\bareme{9}
\partie{A - Calcul de la valeur exacte de $J$}

\itemitemalphnum Montrer que l'on a pour tout nombre $x$ de l'intervalle
$]-1,4[$
$$
   f (x) = 2 \ln (x+1) - 2 \ln (4-x) + 4 \ln 2.
$$

\itemitemalph Déterminer les limites de $f$ en $-1$ et en $4$.

\itemitemalph \'Etudier les variations de $f$.

\itemnum Tracer $C_f$, la courbe représentative de la fonction $f$
dans un repère orthogonal d'unités $3$~cm sur l'axe des abscisses
et $1$~cm sur l'axe des ordonnées.

\itemitemalphnum On introduit la fonction auxiliaire $F$ définie pour tout 
$x>0$ par
$$
   F (x) = \int_1^x 2 \ln t \, dt.
$$
\`A l'aide d'une intégration par parties, montrer que 
$F (x) = 2 (1 - x + x \ln x)$.

\itemitemalph On considère sur l'intervalle $]-1, 4[$ les fonctions $h$
et $H$ définies par
$$
   h (x) = 2 \ln (x+1) - 2 \ln (4-x)
      \qquad {\rm et} \qquad
   H (x) = F (x+1) + F (4-x).
$$
Montrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $]-1, 4[$.

\itemitemalph Calculer la valeur exacte de $J$.

%\bareme{4}
\partie{B - Utilisation d'un polynôme d'interpolation de degré~2}

Soit $P$ le polynôme défini par $P (x) = ax^2 + bx + c$, où
$a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.

\itemnum Déterminer $a$, $b$ et $c$ pour que $P (0) = f (0)$, 
$P (1) = f (1)$ et $P (2) = f (2)$.

\itemnum On prend désormais
$$
   P (x) = (-5 \ln 2 + 3 \ln 3) x^2 + (11 \ln 2 - 5 \ln 3) x.
$$
Calculer $I = \int_0^2 P (x) \, dx$.

\itemnum Calculer $|J - I|$. Donner, à l'aide de la calculatrice
une valeur approchée à $10^{-3}$ près du quotient
$$
   {|J - I| \over J}.
$$

%\bareme{7}
\partie{C - Utilisation d'un polynôme d'interpolation de degré~1}

\itemnum On note $T$ la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $3/2$.
Déterminer une équation de $T$ sous la forme $y = t (x)$ et placer
$T$ sur la figure.

\itemnum On pose
$\displaystyle{
   g (x) = f (x) - {8 \over 5} x + {12 \over 5} - 4 \ln 2
}$, pour $x \in \, ]-1, 4[$.

\itemitemalph \'Etudier le signe de la dérivée de $g$.

\itemitemalph \'Etudier le signe de $g$. Interpréter géométriquement.

\itemitemalph Calculer
$$
   K = \int_0^2 t (x) \, dx.
$$
Donner une interprétation géométrique de la valeur de $|J-K|$.

\itemitemalph Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur décimale 
approchée à $10^{-3}$ près du quotient
$\displaystyle{
   {|J - K| \over J}.
}$

\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.07s - 3824128 - 3 décembre 2008)