Source de chgt

$Fichier TeX$
%% format               (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex)
%% fichiers de macro    basejpv.tex + columns.tex
%% sujet                changement de variable
%% date                 04-12-97
%% auteur               jp vignault 

\exo{Changement de variable $x \mapsto \alpha x + \beta$}

On considère l'intégrale
$$
   I = \int_0^1 {1 \over x^2 + x + 1} \, dx.
$$

\itemnum Calculer l'intégrale $I$ à l'aide du changement de variable
$$
   t = {1 \over \sqrt3} (2x + 1).
$$

\itemnum Donner une valeur approchée de $I$ à $10^{-3}$ près.

\finexo

\corrige{}

%\everymath = {\displaystyle}

On a, d'une part
$$
   t = {1 \over \sqrt3} (2x+1)
      \qquad {\rm donc} \qquad
   x = {1 \over 2} (t \sqrt3 - 1)
      \qquad {\rm et} \qquad
   dx = {\sqrt3 \over 2} \, dt,
$$
d'autre part
$$
   x^2 + x + 1 = {1 \over 4} (3t^2 + 3) = {3 \over 4} (t^2 + 1)
$$
En appliquant la formule du changement de variable, il vient alors
$$
\eqalign{
   I &= \int_0^1 {1 \over x^2 + x + 1} \, dx.
      = \int_{1 \over \sqrt3}^{\sqrt3} {4 \over 3} \times
      {\sqrt3 \over 2} \times {1 \over t^2 + 1} \, dt
      = {2 \over \sqrt3} \big[ \arctan t \big]_{1 / \sqrt3}^{\sqrt3} 
   \cr
      &= {2 \over \sqrt3} \Big( {\pi \over 3} - {\pi \over 6} \Big)
      = {2 \over \sqrt3} \times {\pi \over 3}
      = {\pi \over 3\sqrt3} = {\pi \sqrt3 \over 9} \simeq 0, 604.
   \cr
}$$


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.07s - 3824027 - 3 décembre 2008)