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\paragraphe{Intégrale d'une fonction continue sur un segment}
On rappelle qu'une {\sl primitive de la fonction $f$ sur $I$} est une
fonction $F$, dérivable sur $I$, et telle que
$$
F' (x) = f (x)
\qquad \hbox{pour tout } x \in I
$$
On admettra que~:
\item{$\bullet$} Toute fonction continue sur un intervalle $I$ possède
des primitives sur cet intervalle.
\item{$\bullet$} Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur
l'intervalle $I$, alors $F$ et $G$ ne diffèrent que d'une
constante. Autrement dit, il existe un nombre réel $k$ tel que
$$
F (x) - G (x) = k
\qquad \hbox{pour tout } x \in I
$$
En vertu du dernier point, on peut donc affirmer que le nombre $F (b)
- F (a)$ est indépendant de la primitive de $f$ choisie. Il ne dépend
que de $f$ et des nombres $a$ et $b$ choisis.
\assert Définitions Intégrale, Intégrale indéfinie.
\narrower
$\bullet$ Si $F$ est une primitive de la fonction $f$, on appelle
{\sl intégrale de $f$ sur $[a, b]$} le nombre $F (b) - F (a)$. On note
$$
\int_a^b f (x) \, dx = \left[ F (x) \right]_a^b = F (b) - F (a).
$$
$\bullet$ Pour désigner une primitive {\sl générique\/} de la fonction
$f$ (c'est à dire un re\-pré\-sen\-tant de l'ensemble des primitives
de $f$), on utilise la notation
$$
F = \int f (x) \, dx
\qquad {\rm ou} \qquad
F = \int f \, dx
$$
et on parle de {\sl l'intégrale indéfinie\/} de la fonction $f$.
\endassert
\exemple{}
\columns 2
\everymath = {\displaystyle}
$\bullet$ $\int_0^3 4 \, dt = [4t]_0^3 = 4\times 3 - 4 \times 0 = 12$
$\bullet$ $\int_0^1 x \, dx = \left[ {x^2\over 2}\right]_0^1 = {1\over 2} -
{0\over 2} = {1\over 2}$
$\bullet$ $\int_0^1 {x\over 3} \, dx = \left[ {1\over3} \times {x^2\over
2}\right]_0^1 = {1\over 6}$
$\bullet$ $\int_1^e {1\over t} \, dt = \int_1^e {dt \over t} = [ \ln
t]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1$
$\bullet$ $\int dt = [t]$
$\bullet$ $\int \cos t \, dt = [\sin t]$.
\endcolumns
\finexemple
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.07s - 3777871 - 20 novembre 2008)
