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\paragraphe{Intégration par parties} 

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. La
dérivée du produit $uv$ est 
$$
   (uv)' = u'v + uv'
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   u'v = (uv)' - uv'.
$$
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables, donc continues; si de plus
$u'$ et $v'$ sont continues, alors les fonctions $u'v$, $uv'$ et
$(uv)'$ sont continues, donc intégrables.

Si $a$ et $b$ sont deux éléments de $I$, on a alors
$$
   \int_a^b u' (t) v (t) \, dt =
     \int_a^b (uv)' (t) \, dt -  \int_a^b u (t) v' (t) \, dt,
$$
soit encore, si on choisit $uv$ comme primitive de $(uv)'$,
$$\dresultat{
   \int_a^b u' (t) v (t) \, dt =
     \left[ u (t) v (t) \right]_a^b -  \int_a^b u (t) v' (t) \, dt,
}$$

\exemple{}

\everymath = {\displaystyle}

On désire calculer l'intégrale $I = \int_0^1 t e^t \, dt$.
On pose
$
   \cases{
      u' (t) = e^t
   \cr
      v (t) = t
   \cr}
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \cases{
      u (t) = e^t
   \cr
      v' (t) = t
   \cr}
$
et il vient 
$$
   \int_0^1 t e^t \, dt = \left[t e^t\right]_0^1 - \int_0^1 e^t \, dt
      = e - \left[t e^t\right]_0^1 = 1.
$$

\finexemple
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824200 - 3 décembre 2008)