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\exo{Fonction rationnelle et logarithme}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]-2,
2[$ par
$$
   f (x) = {x^2 \over 4 - x^2}
      \qquad {\rm et} \qquad
   g (x) = \ln (4-x^2).
$$

\itemnum Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0, 1]$~:
$$
   f (x) = -1 + {1\over 2-x} + {1\over 2+x}.
$$

\itemnum Calculer la valeur exacte de l'intégrale
$$
   I = \int_0^1 f (x) \, dx.
$$

\itemnum En utilisant une intégration par parties, montrer que
$$
   J = \int_0^1 g (x) \, dx = \ln 3 + 2I.
$$
En déduire la valeur exacte de $J$.


\finexo

\corrige {}

\itemnum En réduisant au même dénominateur l'expression proposée, il
vient
$$
   -1 + {1\over 2-x} + {1\over 2+x} = 
      {-(2-x)(2+x)\over 4-x^2} + {2+x\over 4-x^2} + {2-x\over 4-x^2} 
   = {x^2 \over 4 - x^2} = f (x)
$$
d'où l'égalité proposée.

\itemnum On a alors
$$\eqalign {
   I &= \int_0^1 f (x) \, dx
      = \int_0^1  -1 + {1\over 2-x} + {1\over 2+x} \, dx
\cr
   &= \Big[ -x - \ln (2-x) + \ln (2+x)\Big] _0^1
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {I = -1+\ln 3}
\cr
}$$

\itemnum On veut calculer
$$
   J = \int_0^1 \ln (4-x^2) \, dx = \int_0^1 1 \times \ln (4-x^2) \, dx 
$$
Posons $U' = 1$ et $V = \ln (4-x^2)$. On a alors $U = x$ et
$\displaystyle {V' = {-2x \over 4-x^2}}$. L'intégration par parties de
$J$ donne alors
$$
   J = \Big[ x\ln (4-x^2)\Big] _0^1 - \int _0^1 {-2x^2 \over 4-x^2} \,
   dx
      = \ln 3 + 2 \int _0^1 {x^2 \over 4-x^2} \, dx
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {J = \ln 3 + 2I}
$$
Fianlement, on a donc \dresultat {J = 3\ln 3 - 2}

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824135 - 3 décembre 2008)