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$Fichier TeX$
\exo{Transformée de Laplace et équation différentielle, {\rm bts
mai}, {\sl 1998}}

\let \partie \centerpartie

L'étude d'un mouvement amorti amène à considérer la fonction $f$ telle
que

\itemitemalph $f (t) = 0$ pour $t<0$.

\itemitemalph $f'' (t) + 2 f' (t) + 2 f (t) = e^{-t}$ pour $t>0$.

\itemitemalph $f (0) = 1$ et $f' (0) = 0$.

\partie{A -- Détermination de la transformée de Laplace de $f$}

Nous allons utiliser la transformée de Laplace pour résoudre cette
équation différentielle. Pour cela, nous admettons que $f$ et ses
dérivées premières et seconde admettent des transformées de
Laplace. On note $F$ la transformée de $f$. ($F (p) = {\cal L} [f (t)]$).

\remarque
   Je vous ai recopié {\sl texto\/} l'énoncé de l'examen. Avec les
   notations habituelles utilisées en cours, le contenu de la dernière
   parenthèse serait plutôt~: $F (p) = {\cal L}_f (p)$.
\finremarque

\itemnum Calculer en fonction de $F (p)$~:
$$
   {\cal L} \big[ f'' (t)\big] ,
      \qquad
   {\cal L} \big[ f' (t)\big] ,
      \qquad {\rm et} \qquad
   {\cal L} \big[ f'' (t) + 2 f' (t) + 2f (t)\big] ,
$$

\itemnum Calculer ${\cal L} \big[ e^{-t} U (t)\big] $ où $U$ est l'échelon
      unité.

\itemnum En déduire $F (p)$.

\partie{B -- Détermination de $f$}

\itemnum Vérifier que
$$
   {1 \over (p+1) (p^2 + 2p + 2)} = {1 \over p+1} - {p+1 \over p^2 +
   2p + 2},
$$
puis montrer que
$$
   F (p) = {1 \over p+1} + {1 \over (p+1)^2 + 1}.
$$

\itemnum Déduire du résultat précédent l'expression de $f (t)$ pour
$t$ positif.

\finexo

\corrige{}

\let \partie \llappartie

\partie{A}
%
\alphnum\ On a 
$$\eqalign{
   {\cal L} [f'' (t)] &= p {\cal L} [f' (t)] - f' (0^+)
      \qquad {\rm avec} \qquad f' (0^+) = 0
\cr
   &= p \left( p {\cal L} [f (t)] - f (0^+) \right)
      \qquad {\rm avec} \qquad f (0^+) = 1
\cr
}$$
Soit finalement, en notant $F (p) = {\cal L} [f (t)]$,
\dresultat{{\cal L} [f'' (t)] = p^2 F (p) - p}.

\alph\ Dans la deuxième partie du calcul précédent, on a montré que
\dresultat{{\cal L} [f' (t) = p F (p) - 1]}.

\alph\ Il vient alors, pour le dernier calcul
$$\eqalign{
   {\cal L} [f'' (t) + 2 f' (t) + 2f (t)] 
      &= {\cal L} [f'' (t)] + 2 {\cal L} [f' (t)] + 2 {\cal L} [f (t)] 
\cr
   &= p^2 F (p) - p + 2 (p F (p) - 1) + 2 F (p)
\cr
   &= (p^2 + 2p + 2) F (p) - (p+2)
\cr
}$$
Finalement, on a \dresultat{{\cal L} [f'' (t) + 2 f' (t) + 2f (t)] =
(p^2 + 2p + 2) F (p) - (p+2)}.

\num\ Pour cette question, il suffit de se reporter au formulaire, qui
affirme que, si $U$ désigne la fonction échelon, alors
$$\dresultat{
   {\cal L} [e^{-t} U (t)] = {1 \over p+1}
}$$

\num\ On applique la transformée de Laplace à l'hypothèse
   différentielle {\sl b\/}) donnée en introduction du problème. Il
   vient alors~:
$$\displaylines{
   f'' (t) + 2 f' (t) + 2 f (t) = e^{-t}
%\cr
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   {\cal L} [f'' (t) + 2 f' (t) + 2f (t)] = {\cal L} [e^{-t}] 
\cr
      \Longleftrightarrow \qquad
   (p^2 + 2p + 2) F (p) - (p+2) = {1 \over p+1}
\cr
      \Longleftrightarrow \qquad
   F (p) = {1 \over p^2 + 2p + 2} \times \left( {1 \over p+1} + (p+2)\right)
\cr
}$$
Finalement, on a \dresultat{F (p) = {1 \over (p^2 + 2p + 2)
(p+1)} + {p+2 \over p^2 + 2p + 2}}.

\partie{B}
%
\num\ On vérifie facilement, par réduction au même dénominateur, que
$$\dresultat{
   {1 \over (p+1) (p^2 + 2p + 2)} = {1 \over p+1} - {p+1 \over p^2 +
   2p + 2},
}$$

En combinant avec l'expression de $F (p)$ obtenue dans la partie {\bf
A.}, on obtient
$$\displaylines{
   F (p) = {1 \over p+1} - {p+1 \over p^2 + 2p + 2} +  {p+2 \over p^2
   + 2p + 2} =  {1 \over p+1} + {1 \over p^2 + 2p + 2} 
\cr
   {\rm soit} \qquad
  \dresultat{
      F (p) = {1 \over p+1} + {1 \over (p+1)^2 + 1}.
  }
}$$

\num\ Par lecture inverse du tableau des transformées de Laplace,
  on voit que l'original de $1 / (p+1)$ est $e^{-t} U (t)$.

Pour $1 / \big( (p+1)^2 + 1\big) $, il faut invoquer un théorème de
changement d'échelle~: si $F (p) = 1 / (p ^2 + 1)$, alors l'original
est $\sin (t) \times U (t)$. Mais dans notre cas, c'est plutôt $F
(p+1)$ que l'on a. On sait alors que l'original est la fonction $h$
définie par $h (t) = e^{-t} \sin (t) \times U (t)$.

Finalement, l'original $f$ cherchée est somme des deux originaux
particuliers ci-dessus, soit
$$\dresultat{
   f (t) = e^{-t} \times U (t) \times (1 + \sin (t) )
}$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824171 - 3 décembre 2008)